[Quantum Computing] Week 24 : 고급 양자 이론 III

Yoongee Yeo·2025년 6월 17일
Quamtum Computing양자컴퓨팅
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Quantum Computing

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✅ 1. 양자역학의 3대 공리 정리

양자역학의 기본 공리는 다음 세 가지로 구성됩니다.

① 상태 (State)

양자 시스템의 상태는 힐베르트 공간(Hilbert space)의 벡터 ∣ψ⟩|\psi\rangle 로 표현되며, 이 벡터는 시스템에 대한 모든 정보를 담고 있는 상태 벡터입니다.

② 시간 변화 (Time Evolution)

닫힌 양자 시스템은 유니터리 연산자 UU를 통해 시간에 따라 다음과 같이 변화합니다.

∣ψ(t)⟩=U(t,t0)∣ψ(t0)⟩|\psi(t)\rangle = U(t, t_0) |\psi(t_0)\rangle

여기서 UU는 유니터리 연산자이며, U†U=UU†=IU^\dagger U = U U^\dagger = I 를 만족합니다.

③ 측정 (Measurement)

양자 시스템의 측정은 일련의 측정 연산자 {Mm}\{M_m\} 에 의해 기술되며, 다음 조건을 만족합니다:

완결성 관계 (Completeness Relation)

∑mMm†Mm=I\sum_m M_m^\dagger M_m = I

측정 결과 ( m )이 나올 확률

p(m)=⟨ψ∣Mm†Mm∣ψ⟩p(m) = \langle \psi | M_m^\dagger M_m | \psi \rangle

측정 후 상태 (표준화)

∣ψ′⟩=Mm∣ψ⟩p(m)|\psi'\rangle = \frac{M_m |\psi\rangle}{\sqrt{p(m)}}

✅ 2. 밀도 행렬의 정의와 개념

시스템의 상태가 완전히 알려지지 않았거나 확률적으로 여러 상태의 조합일 때, 밀도 행렬(ρ)로 상태를 기술할 수 있습니다.

📌 밀도 행렬의 정의

확률 pip_i 로 상태 ∣ψi⟩|\psi_i\rangle 에 있는 양자 시스템들의 앙상블이 주어졌을 때:

ρ=∑ipi∣ψi⟩⟨ψi∣\rho = \sum_i p_i |\psi_i\rangle \langle \psi_i |
  • ρ\rho 는 양의 준정부호(Hermitian, positive semi-definite) 이며,
  • 항상 Tr(ρ)=1\text{Tr}(\rho) = 1 을 만족해야 합니다.

✅ 3. 밀도 행렬의 시간 변화와 측정

📌 시간 변화

밀도 행렬도 퓨어 상태와 마찬가지로 유니터리 연산자에 의해 진화합니다.

ρ′=UρU†\rho' = U \rho U^\dagger

📌 측정 후 상태

측정 결과 ( m )을 얻은 후의 시스템 상태는 다음과 같이 주어집니다.

ρm=MmρMm†Tr(MmρMm†)\rho_m = \frac{M_m \rho M_m^\dagger}{\text{Tr}(M_m \rho M_m^\dagger)}

✅ 4. 퓨어 상태 vs 믹스 상태

  • 퓨어 상태: ρ=∣ψ⟩⟨ψ∣\rho = |\psi\rangle \langle \psi| → Tr(ρ2)=1\text{Tr}(\rho^2) = 1

  • 믹스 상태: 여러 퓨어 상태의 확률적 조합
    → Tr(ρ2)<1\text{Tr}(\rho^2) < 1

📌 예시: 큐비트 밀도 행렬

ρ=p∣0⟩⟨0∣+(1−p)∣1⟩⟨1∣\rho = p |0\rangle \langle 0| + (1 - p) |1\rangle \langle 1|

  • 이미 대각화된 형태로 고유값은 pp 와 1−p1 - p

  • Tr(ρ)=p+(1−p)=1\text{Tr}(\rho) = p + (1 - p) = 1

  • 제곱 후 트레이스:

    Tr(ρ2)=p2+(1−p)2=2p2−2p+1\text{Tr}(\rho^2) = p^2 + (1 - p)^2 = 2p^2 - 2p + 1

  • p=0p = 0 또는 11일 때 → 퓨어 상태

  • p=0.5p = 0.5일 때 → 최대 혼합 상태, Tr(ρ2)=0.5\text{Tr}(\rho^2) = 0.5

✅ 5. 측정 결과를 모를 때의 상태 기술

가정

  • 시스템의 초기 상태 ρinit\rho_{\text{init}} 는 알고 있음
  • 어떤 측정 연산 {Mm}\{M_m\} 이 수행된 것도 알고 있음
  • 그러나 결과 mm은 알 수 없음

해법

결과는 모르더라도, 가능한 모든 결과에 대해 가중 평균한 상태는 다음과 같습니다:

ρ′=∑mMmρMm†\rho' = \sum_m M_m \rho M_m^\dagger

✅ 6. 밀도 행렬의 수학적 조건

어떤 연산자 ρ\rho가 밀도 행렬이기 위한 필요충분조건:

  1. 트레이스 조건
Tr(ρ)=1\text{Tr}(\rho) = 1
  1. 양의 준정부호 조건
⟨ϕ∣ρ∣ϕ⟩≥0∀∣ϕ⟩\langle \phi | \rho | \phi \rangle \geq 0 \quad \forall |\phi\rangle

📌 스펙트럼 분해

모든 밀도 행렬은 다음과 같이 분해됩니다.

ρ=∑jλj∣j⟩⟨j∣\rho = \sum_j \lambda_j |j\rangle \langle j|
  • ( \lambda_j \geq 0 ), ( \sum_j \lambda_j = 1 )

✅ 7. 밀도 행렬의 활용

요약하면, 아래와 같이 밀도 행렬을 다양하게 활용하여 양자 시스템을 기술할 수 있습니다.

  • 노이즈 모델링 및 디코히런스 분석
  • 양자 오류 정정 (QEC) 설계 및 효과 분석
  • 부분 시스템의 상태 추적
  • 얽힘 상태 분석 및 엔트로피 계산
  • 측정 결과를 모를 때도 상태 기술 가능

✅ 8. 결론

  • 밀도 행렬은 실제 양자 시스템을 기술하는 데 필수적인 도구입니다.
  • 정보의 손실, 측정 불확실성, 환경과의 상호작용 같은 문제들을 반영하여
    양자 상태를 정확하게 추론하고 예측할 수 있게 해줍니다.
  • 퓨어/믹스 상태 구분, 측정 후 상태 계산 등 실전 양자 컴퓨팅에 매우 중요함을 알 수 있습니다.

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