[Quantum Computing] Week 23 : 고급 양자이론 II

Yoongee Yeo·2025년 6월 17일
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최근 양자 컴퓨팅 스터디에서 발표한 내용을 포스팅합니다.

이번 주제는 밀도 행렬(Density Matrix), 믹스 스테이트(Mixed State), 그리고 양자 측정 이후 상태의 변화에 관한 핵심 개념들로, 고급 양자 이론의 중요한 부분을 다루었습니다.

양자컴퓨팅 입문 단계에서는 상태를 보통 벡터 ∣ψ⟩\lvert\psi\rangle 하나로 표현합니다.
하지만 실제 시스템은 환경 노이즈, 엔트로피, 부분계 추출 등으로 인해 퓨어(pure) 상태만으로는 설명할 수 없는 경우가 많습니다. 이를 일반화하는 도구가 바로 밀도 행렬(Density Matrix) 입니다. 이 핵심 내용을 수식과 함께 자세히 풀어보겠습니다.

📘 스터디 주차 : Week 23 — 고급 양자 이론 II
🧑🏻‍🏫 발표자 : 서강대학교 AI/SW 대학원 여윤기

✅ 1. 밀도 행렬(Density Matrix)의 개념

양자 상태는 일반적으로 벡터 ∣ψ⟩|\psi\rangle로 표현됩니다. 하지만 현실에서는 시스템이 환경과 상호작용하거나, 우리가 시스템의 정확한 상태를 알 수 없는 경우도 많습니다. 이럴 때는 여러 퓨어 상태의 확률적 조합, 즉 앙상블 상태로 양자 시스템을 표현해야 하며, 그 수학적 도구가 바로 밀도 행렬(ρ) 입니다.

✅ 2. 밀도 행렬의 정의

여러 퓨어 상태 ∣ψi⟩|\psi_i\rangle가 확률 pip_i 로 섞여 있는 앙상블 상태의 밀도 행렬은 다음과 같이 정의됩니다.

ρ=∑ipi ∣ψi⟩⟨ψi∣\rho = \sum_i p_i \, |\psi_i\rangle \langle \psi_i |

여기서,

  • pi≥0p_i \geq 0 이며 ∑ipi=1\sum_i p_i = 1
  • ∣ψi⟩|\psi_i\rangle는 개별 퓨어 상태
  • ρ\rho는 에르미트 행렬이며 Tr(ρ)=1\text{Tr}(\rho) = 1

이는 유니터리 연산자 ( U )를 모든 상태에 동일하게 적용해도 다음과 같이 표현 가능합니다.

ρ′=UρU†\rho' = U \rho U^\dagger

✅ 3. 퓨어 상태와 믹스 상태

양자 시스템의 상태는 크게 퓨어 상태(pure state) 와 믹스 상태(mixed state) 로 나뉩니다.

📌 퓨어 상태

  • 시스템이 정확히 하나의 상태 ∣ψ⟩|\psi\rangle에 있음
  • 밀도 행렬로는 ρ=∣ψ⟩⟨ψ∣\rho = |\psi\rangle \langle \psi|

📌 믹스 상태

  • 여러 퓨어 상태가 확률적으로 혼합되어 있음
  • 밀도 행렬은 ρ=∑ipi∣ψi⟩⟨ψi∣\rho = \sum_i p_i |\psi_i\rangle \langle \psi_i|

📌 구분 기준

두 상태의 구분은 다음 식으로 가능합니다:

Pure State : Tr(ρ2)=1Mixed State : Tr(ρ2)<1\text{Pure State : } \text{Tr}(\rho^2) = 1 \\ \text{Mixed State : } \text{Tr}(\rho^2) < 1

✅ 4. 앙상블 상태의 확장 표현

앙상블 상태는 다음과 같이 여러 퓨어 상태를 확률적으로 조합한 밀도 행렬로 표현할 수 있습니다.

ρ=∑ipiρi=∑ipi(∑jqij∣ϕij⟩⟨ϕij∣)\rho = \sum_i p_i \rho_i = \sum_i p_i \left( \sum_j q_{ij} |\phi_{ij}\rangle \langle \phi_{ij}| \right)

즉, 각 ρi\rho_i가 다시 퓨어 상태의 조합이라면, 전체 ρ\rho도 결국 퓨어 상태의 앙상블로 환원됩니다.

✅ 5. 양자 측정과 확률 계산

밀도 행렬을 사용하면 특정 측정 결과가 나올 확률도 간단하게 계산할 수 있습니다.
측정 연산자 MM에 대해 결과 mm이 나올 확률은 다음과 같습니다.

P(m)=Tr(Mρ)P(m) = \text{Tr}(M \rho)

예를 들어, 다음 상태가 있다고 가정:

ρ=12∣0⟩⟨0∣+12∣1⟩⟨1∣,M=∣0⟩⟨0∣\rho = \frac{1}{2} |0\rangle \langle 0| + \frac{1}{2} |1\rangle \langle 1|, \quad M = |0\rangle \langle 0|

이때 측정값 0이 나올 확률은 다음과 같습니다:

P(0)=Tr(Mρ)=12P(0) = \text{Tr}(M \rho) = \frac{1}{2}

✅ 6. 측정 후 상태 업데이트

양자 시스템은 측정 이후 상태가 비가역적으로 변합니다. 측정 결과가 mm으로 나왔을 때, 측정 후 상태는 다음과 같이 계산됩니다.

ρ′=MmρMm†Tr(Mmρ)\rho' = \frac{M_m \rho M_m^\dagger}{\text{Tr}(M_m \rho)}

여기서,

  • MmM_m : 측정 연산자
  • Tr(Mmρ)\text{Tr}(M_m \rho) : 측정 결과 ( m )이 나올 확률 (정규화 계수)
  • ρ′\rho' : 측정 결과에 조건화된 새로운 상태

이 식은 베이즈 정리와 유사한 방식으로 해석할 수 있습니다.

✅ 7. 밀도 행렬의 활용 예시

활용 분야설명
양자 정보엔트로피 계산, 정보 손실량 추정
부분계 추적ρAB→ρA=TrB(ρAB)\rho_{AB} \to \rho_A = \text{Tr}_B(\rho_{AB})
노이즈 모델링디코히런스, 디폴러라이징 채널 모델
얽힘 분석얽힘 엔트로피, 상호 정보량 계산
양자 오류 정정상태 측정 후 잔여 상태 추론

✅ 8. 핵심 요약

  • 밀도 행렬은 퓨어/믹스 상태를 통합적으로 표현하는 강력한 도구
  • 측정 확률은 Tr(Mρ)\text{Tr}(M \rho) 로 간단히 계산할 수 있습니다.
  • 측정 후 상태는 ρ′=MρM†/Tr(Mρ)\rho' = M \rho M^\dagger / \text{Tr}(M \rho) 공식으로 갱신됩니다.
  • 믹스 상태도 결국 퓨어 상태의 앙상블로 구성 가능하다는 점이 핵심

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