Chapter 13 무향 칼만 필터

EKF가 선형화를 통해 비선형 문제를 해결했다면, 무향 칼만 필터(Unscented Kalman Filter)는 아예 선형화 과정을 생략한다. 그 결과 UKF는 선형 모델의 부정확성으로 인한 불안정 문제에서 상대적으로 더 자유롭다.

13.1 UKF의 기본 전략

일반적인 비선형 시스템에서는 오차 공분산의 예측값 $P_k^-$을 구할 수 없다.

EKF는 오차 공분산의 예측에 선형화 모델을 사용한다. 즉, 비선형 시스템에서 오차 공분산의 예측값을 해석적으로 구하지 못하는 문제를 선혀와를 통한 근사로 해결했다. 따라서 EKF는 선형화 모델의 정확도가 중요하다.

UKF는 선형화를 통한 근사 대신 샘플링을 통한 근사를 한다. 즉 시스템 모델 수식을 직접 다루지 않고, 시스템을 대표하는 몇 개의 데이터를 이용해 상태 변수와 오차 공분산의 예측값을 계산한다.

시각 $t_{k-1}$에서의 상태를 알고 있다고 가정하자. 또한 $t_{k-1}$에서의 추정값과 오차 공분산을 나타내는 몇 개의 대표 데이터 $\chi_i$가 존재한다고 가정하자. 그러면 $t_k$에서 추정값과 오차 공분산의 예측값은 이 데이터들을 시스템 모델로 변환한 데이터 $f(\chi_i)$를 구할 수 있다. 이러한 변환을 무향 변환(Unscented Transform)이라고 한다. 이처럼 상태 변수와 오차 공분산의 예측값을 시스템 모델식으로부터 직접 계산하는게 아니라 몇 개의 대표값(Sigma Point, $\chi_i$)을 선정하고 이 값의 변환 데이터로부터 간접적으로 구하는게 UKF의 전략이다.

13.2 UKF 알고리즘

비선형 시스템 모델

다음과 같은 비선형 시스템 모델이 있다고 생각해보자.

$x_{k+1}=f(x_k)+w_k$
$z_k=h(x_k)+v_k$

무향 칼만 필터 너무 어렵다...
(손절)