2-1 서론

수학적 모델

• 수학적 모델은 여러 가지 다른 형태로 표시될 수 있음
• 시스템의 종류와 상황에 따라 한 형태의 수학적 모델이 다른 형태보다 적합할 수 있음
  • 예)
    • 최적제어문제: 상태공간방정식
    • 단일입력-단일출력 선형 시불변 시스템: 전달함수

단순성 대 정확도

• 단순성과 해석 결과의 정확도 사이에 적당한 타협점 필요
• 일반적으로, 단순한 모델로부터 시작한 다음 좀 더 복잡한 수학적 모델 구성

선형 시불변시스템과 선형 시변 시스템

• 선형시불변시스템(linear time-invariant system): 미분방정식의 계수가 상수이거나 독립변수만의 함수인 경우
• 선형시변시스템(linear time-varying system): 미분방정식의 계수가 시간의 함수로 표현되는 시스템
  • 예) 우주선의 질량은 연료소모로 인해 시간에 따라 변함

2-2 전달함수와 임펄스응답함수

전달함수

선형 시불변 미분방정식 시스템의 전달함수(transfer function)는 모든 초기조건이 0이라는 가정 하에서 출력(응답함수)의 Laplace 변환식과 입력(구동함수)의 Laplace 변환식의 비로 정의

예를 들어,
$\sum_{i=0}^n a_i y^(n-i) = \sum_{j=0}^m b_j x^(m-j), n\leq m$
이 있다면 전달함수는
$G(s)=\frac{b_0 s^m + \cdots + b_{m-1}s+b_m}{a_0 s^n + \cdots + a_{n-1}s + a_n}$
이 된다. 전달함수에서 분모의 최고차수가 n이면 이 시스템을 n차 시스템이라고 한다.

전달함수에 대한 참고사항

전달함수의 개념은 선형 시불변 미분방정식 시스템에만 적용될 수 있다.

또한 아래의 특징을 갖는다
1. 전달함수는 수학적 모델의 일종으로서, 시스템의 입력변수와 출력변수 사이의 미분방정식을 다른 연산 형태로 표현
2. 입력의 크기나 종류에는 무관
3. 전달함수는 입력과 출력의 단위를 포함하지만, 시스템의 물리적 구조에 대한 정보를 담고 있지 않다. 즉 물리적으로 서로 다른 시스템일지라도 전달함수는 같을 수 있다
4. 전달함수가 주어지면 여러 가지 입력에 대한 출력을 연구하여 시스템의 성질 이해 가능
5. 전달함수를 모를 경우에, 실험적으로 주어진 입력에 대한 출력을 구함으로써 전달함수를 구할 수 있다. 일단 전달함수가 구해지면 시스템의 동특성은 전달함수에 의해 완전히 표현

합성곱적분

Laplace 변환 시 관련된 모든 초기조건은 0으로 가정하기 때문에, 출력은
$Y(s)=G(s)X(s)$
로 주어진다. 이를 Convolution으로 Laplace 역변환 하면,
$y(t)=\int_0 ^t g(\tau)x(t-\tau)d\tau$
가 된다.

임펄스응답함수

초기조건이 0인 단위임펄스입력에 대한 시스템의 출력을 고려해보자. 단위임펄스함수를 Laplace 변환하면 1이 되므로 시스템의 출력을 Laplace 변환하면 아래와 같다.
$Y(s)=G(s)$
이를 Laplace 역변환하면
$y(t)=L^{-1}[G(s)]=g(t)$
가 된다. 위 함수를 시스템의 가중함수라고도 한다.
따라서 임펄스응답함수는 초기조건이 0일 때 단위임펄스입력에 대한 선형 시불변 시스템의 응답이다. 이 함수를 Laplace 변환하면 전달함수가 된다. 그러므로 선형 시불변시스템에서 전달함수나 임펄스응답함수는 시스템의 동특성에 관한 동일한 정보를 내포하고 있다. 따라서 임펄스입력을 시스템에 가하여 그 응답을 측정함으로써 시스템의 동특성에 관한 모든 정보를 얻을 수 있다.