[Week 2-1] 📊Numpy, 벡터, 행렬

2주차 월요일

• Numpy
• Numpy operation
• 벡터
• 행렬

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📊[Numpy]

선형대수나 과학 계산을 위한 파이썬 라이브러리. 다양한 고급 계산을 지원한다.
np라는 alias로 불러오는 게 암묵적인 규칙이다. import numpy as np

• array
  넘파이의 array는 np.array()로 선언하는데, 생성된 객체는 리스트나 튜플 같은 게 아니라 넘파이 고유의 ndarray 타입이다. ndarray 객체는 동적 타이핑을 지원하지 않기 때문에 C언어의 array처럼 한 종류의 data type만 넣을 수 있다. (실제로 C를 사용해 구현되어 있다)

import numpy as np

myarr = np.array([1, "2", 3.0], float)
# 여러 타입이 섞여 있는 경우 자료형을 지정해서 통합할 수 있다

print(myarr)

>>> [1. 2. 3.]

리스트는 메모리 안에 여기저기 흩어진 값들의 주소만 모아 놓은 자료형인 반면 array는 값들이 차례대로(집어넣은 순서대로) 모여 있어서 속도가 빠르다.

• array의 속성 shape, ndim, size

print(np.array([1, 2, 3, 4]).shape)
>>> (4,) # shape 속성은 튜플

print(np.array([[1,2,3,4], [5,6,7,8]]).shape)
>>> (2,4) # 주의!!! (4,2)가 아니다!!!

ndarray 객체의 속성 shape를 찍어보면 나중에 추가된 axis가 더 먼저 나온다!

ndim 속성은 차원 수를 의미하고, size 속성은 총 원소 수를 의미한다.

print(np.array([[1,2,3,4], [5,6,7,8]]).ndim)
print(np.array([[1,2,3,4], [5,6,7,8]]).size)
>>> 2
    8

• reshape, flatten
  reshape()는 array의 차원을 재조정해준다. 단, 재조정 전후의 size는 동일해야 한다.

myarr = np.array([1,2,3,4,5,6,7,8])
print(myarr.reshape(4,2)) # 차원 표기 주의
>>> [[1 2]
     [3 4]
     [5 6]
     [7 8]]

reshape의 인수 중 하나에 -1을 집어넣을 수도 있다(unknown dimension). 그러면 array의 size와 입력한 항목을 기반으로 알아서 차원을 재조정해준다.

myarr = np.array([1,2,3,4,5,6,7,8])
print(myarr.reshape(2,-1,2))
>>> [[[1 2]
      [3 4]]

     [[5 6]
      [7 8]]]

flatten()은 array를 1차원으로 납작하게 펴 준다.

myarr = np.array([[1,2,3,4], [5,6,7,8]])
print(myarr.flatten())

>>> [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]

• arange
  리스트의 range와 비슷한데 step을 float로 설정할 수도 있다.

myarr = np.array(arange(0,2,0.5))
print(myarr)
>>> [0.,  0.5,  1.,  1.5]

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📊[Numpy operation]

array끼리의 연산은 element-wise하다. (벡터 연산하듯이 원소끼리 연산한다)

• axis
  연산의 기준이 되는 dimension의 축. 0부터 세며 새로 생긴 축이 항상 axis 0이다.
  2차원 array는 1차원 array를 쌓아서 만들었으니까 가로축이 axis 1, 세로축이 axis 0이다.

• 연결하기
  두 array가 붙는 부분의 차원이 일치해야 한다.

  • concatenate([arr1, arr2]) : 축을 지정해서 사용하며, 지정한 축 기준으로 연결된다.
  • vstack([arr1, arr2]) : 두 array가 수직으로 연결된다.
  • hstack([arr1, arr2]) : 두 array가 수평으로 연결된다.

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📈[벡터]

공간 상에서 한 점을 나타내는 방법. 표기할 때는 주로 x처럼 소문자 볼드체로 나타낸다.

• norm(노름, 놈)
  원점에서 어떤 벡터까지의 거리를 나타내는 방식. L1 norm, L2 norm 등 여러 가지가 있으며 일반적인 임의의 d차원에 대해 성립한다.

  • L1 norm, ||x||1 : 각 벡터의 원소들의 절대값의 합
    
  • L2 norm, ||x||2 : 피타고라스 정리를 이용하는 유클리드 거리
    

  거리의 정의로 어떤 norm을 사용하냐에 따라 기하학적 성질도 달라진다.
  원은 원점에서부터의 거리(norm)가 1인 점들의 집합인데, L1 norm 공간 상의 원과 L2 norm 공간 상의 원은 모습이 아주 다르다.
  

• 벡터의 내적
  한 벡터를 다른 벡터에 투영했을 때의 길이.
  벡터 y에 x를 투영하면 ||y|| ||x|| cosθ가 되는데, 이것은 x의 정사영을 y의 길이만큼 조정한 값이다. 내적을 이용해 두 벡터의 유사도를 측정하기도 한다.

  

• 벡터 사이의 거리
  벡터의 뺄셈과 norm을 통해 구할 수 있다.
  두 벡터 사이의 거리 : ||x - y||

• 벡터 사이의 각도
  L2 norm으로만 구할 수 있다.
  제2코사인법칙을 사용하는데, 분자를 쉽게 계산하기 위해 벡터의 내적을 사용한다.
  <x,y> : 벡터 x, y의 내적
  

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📈[행렬]

• 행렬의 의미
  행렬은 두 가지 의미로 이해할 수 있다. 행렬을 표기할 때는 주로 A처럼 대문자 볼드체로 나타낸다.

  • 벡터들의 집합
    n차원 벡터를 n차원 공간 상의 점으로 본다면 행렬은 그 점들의 집합이라고 생각할 수 있다.

  • 변환 연산자
    어떤 벡터 x에 행렬 A를 곱하면 벡터의 차원이 변하기도 한다. 따라서 행렬은 벡터를 다른 차원의 공간으로 보낼 수 있는 연산자라고 생각할 수 있다. (벡터에 변환행렬을 곱하면 정말 그렇게 된다)

• 행렬의 곱셈
  두 행렬 A와 B를 곱한 행렬 AB의 성분 (i, j)는 각각 A의 i번째 행벡터와 j번째 열벡터의 내적이다.
  행렬의 곱셈은 차원이 맞아야 할 수 있으며(a x n 행렬과 n x b 행렬끼리), 교환법칙이 성립하지 않는다.

• 역행렬
  행렬곱을 되돌리는 연산으로, 행렬 A-1과 같이 나타낸다. 행렬에 역행렬을 곱하면 단위행렬 I가 되며, 행렬에 역행렬을 곱할 때는 교환법칙이 성립한다. 정칙 행렬에 대해서만 역행렬을 구할 수 있다. (n x n 행렬이며 determinant를 구할 수 있어야 한다)
  numpy에서는 np.linalg.inv(A)를 통해 역행렬을 구할 수 있다.

• 의사 역행렬(pseudo inverse, 무어-펜로즈 역행렬)
  정칙 행렬이 아닌 행렬 (n x m이거나 determinant를 구할 수 없는 행렬)의 역행렬로, A+과 같이 나타낸다. n과 m의 크기 차이에 따라 좌측/우측으로 곱하는 위치가 다르다.

  • n >= m (우 역행렬)
    A+ = (ATA)-1 AT
    AA+ = I

  • n <= m (좌 역행렬)
    A+ = AT (ATA)-1
    A+A = I

    좌 / 우로 곱하는 위치가 다른 이유는 행렬의 모양 때문이다.

    연립방정식의 해가 부정(변수>식)인 경우 의사 역행렬을 이용하면 무한한 해 중 하나를 구할 수 있다.

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👨‍👩‍👧‍👦[피어 세션]

스파크와 하둡에 대한 이야기를 나눴다. 스파크와 하둡 모두 클러스터 컴퓨팅 환경에서 빅데이터를 저장, 처리, 관리하는 데이터베이스 처리 시스템으로, 스파크는 데이터를 메모리에 올려서 사용하기 때문에 일반적으로 속도가 빠르지만 메모리에 다 못 올릴 정도로 대규모 데이터를 처리할 경우에는 하둡을 사용한다고 한다.

그 밖에도 원 핫 인코딩 등 머신 러닝 모델의 입력으로 사용할 데이터의 전처리 과정에 관한 이야기와 예측/분류 모델의 작동 방식 차이에 대한 이야기를 나눴다.