An Introduction to Partial Differential Equations

출처

• An Introduction to Partial Differential Equations, YEHUDA PINCHOVER AND JACOB RUBINSTEIN, Cambridge, 2005.

• Analytic Solutions of Partial Dierential Equations

• School of Mathematics, University of Leeds, MATH3414

1. Introduction

1.1 Preliminaries

• ...

1.2 Classification

• ...

1.3 Differential operators and the superposition principle

• k order PDE 의 solution 이 되려면 function 은 k번 미분 가능해야 함.
• set C^k(D) 를 D domain 에서 k번 연속적으로 미분 가능하다고 정의
• k order PDE 를 만족하는 set C^k 에 속한 함수를 classical(strong) solution of PDE 라 정의. 그 외는 weak solution.
• operator : Mapping between different function sets. function u 에 대한 operation 을 L[u] 라 표기.
• differential operator : partial derivatives of functions 로 정의된 operator. 서로 다른 C^k classes 를 mapping.
• linear operator : L[a1u1 + a2u2] = a1L[u1] + a2L[u2]
• linear differential equation 은 자연스럽게 lienar operator 를 정의함(?). L[u] = f. f 는 given function. (ex:b.c.)
• linear operator 는 superposition principle 적용 가능. complex solution 생성을 simple solution 의 조합으로 대체 가능.
  L[sigma(alpha_i*u_i)] = sigma(alpha_i*f_i)

1.4 Differential equations as mathematical models

1.4.1 The heat equation

• constitutive laws/relation(구성 방정식)
  • 재료의 거동을 설명하는 방정식이나 관계식
  • 이는 특정 재료가 외부의 자극(예: 하중, 온도 변화 등)에 어떻게 반응하는지를 기술.
  • 재료의 기계적, 열적, 전기적 또는 다른 물리적 특성을 정의하는 데 사용됨.

2. First-order equations

asdf

• asdf

Analytic Solutions of Partial Differential Equations

Course Summary

• Definitions of different type of PDE (linear,quasilinear,semilinear,nonlinear)
• Existence and uniqueness of solutions
• Solving PDEs analytically is generally based on finding a change of variable to transform the equation into something soluble or on finding an integral form of the solution.
• First order PDEs
• Second order PDEs
• ...

Existence and Uniqueness

• PDE 의 해가 존재하는지, 유일한지 알고 싶음. 또한 solution 이 continous 한지 (b.c., i.c. 의 작은 변화에 작게 변하는지(=연속적인지))
• well-fomed(well-posed)
  • solution 이 exist
  • unique
  • stability (continuously dependent on the data)
• problem 이 (PDE, BCs, ICs 의 조합이) 위 3개가 만족 안되면 ill-posed
• linear system 은 대부분 well-formed 하지만 nonlinear system 에서는 항상 well-foremd 하지는 않음 (ex: bifurcation of solution, etc.)

Chapter2 First Order Equations

2.1 Linear and Semilinear Equations

2.1.1 Method of Characteristic

보조 Tool (?)

Mathematica

• 제작사: Wolfram Research
• 주요 용도: 수학적 계산, 심볼릭 계산, 수치해석, 데이터 분석, 시각화
• 특징:
  • 강력한 심볼릭 계산 기능 (대수학, 미적분학, 구문론적 계산 등).
  • 고급 그래픽스 기능과 데이터 시각화 도구.
  • 프로그래밍 언어 (Wolfram 언어) 포함.
• 기하학적 계산, 과학적 데이터 처리, 머신러닝 등 다양한 분야에 활용.
• 사용 예: 수학 연구, 교육, 엔지니어링 계산, 데이터 과학.

Wolfram|Alpha

• 제작사: Wolfram Research
• 주요 용도: 온라인 계산 지식 엔진 및 질문 응답 서비스
• 특징:
  • 자연어로 질문을 입력하면 해당 질문에 대한 답변을 제공.
  • 다양한 분야(수학, 과학, 역사, 문화 등)의 질문에 대해 심볼릭 계산 및 데이터 기반으로 응답.
  • Wolfram Alpha는 Mathematica의 계산 엔진을 기반으로 동작하지만, 사용자는 이를 직접 프로그래밍할 필요 없음.
  • 웹 기반 인터페이스와 모바일 애플리케이션 제공.
• 사용 예: 수학 문제 풀이, 데이터 조회, 계산 질문, 과학적 정보 검색.

MATLAB

• 제작사: MathWorks
• 주요 용도: 수치해석, 행렬 연산, 데이터 분석, 시뮬레이션, 모델링
• 특징:
  • 행렬 중심의 계산 환경.
  • 광범위한 수학적 함수 라이브러리 제공.
  • 시뮬레이션과 모델링을 위한 Simulink 통합.
  • 데이터를 손쉽게 시각화하고 분석할 수 있는 도구 제공.
  • 많은 분야의 엔지니어링 문제(예: 신호 처리, 제어 시스템, 통신, 이미지 처리 등) 해결에 강력한 도구.
• 사용 예: 수치해석, 신호 처리, 이미지 및 영상 처리, 제어 시스템 설계, 엑셀 활용, 데이터 시각화.

기타 괜찮은(?) 공부 사이트

• https://charlesreid1.com/wiki/Introduction_to_partial_differential_equations#Mathematical_classification