Invertible Transformations은 매트릭스 A가 역행렬을 가지는 경우에 해당된다.
역행렬이란, A와 곱해서 항등행렬(identity matrix) I가 되는 행렬을 의미한다.
역행렬이 존재하는 매트릭스 A를 가지고 있는 경우,
Ax=b의 식에서 x는 다음과 같이 구할 수 있다.
Ax = b (원래 식)
A^-1 Ax = A^-1 b (두 식 모두 왼쪽에 A의 역행렬을 곱함)
Ix = A^-1 b (A의 역행렬과 A를 곱하면 I가 되므로)
x = A^-1 b (I와 x를 곱하면 x가 되므로)따라서, Ax=b의 식에서 x를 구하는 것은 A의 역행렬을 계산해서 b에 곱하는 것과 동일하다.
즉, x = A^-1b가 된다. 이때, b는 Ax와 같은 차원(dimension)을 가진 벡터이어야 한다.
만약 A의 역행렬이 존재하지 않는다면, Ax=b의 식에서 x를 구하는 것은 불가능!
Eigenvalues(고유값) and eigenvectors(고유벡터)
행렬 A가 있을 때, 만약 어떤 벡터 x가 다음과 같은 관계식을 만족한다면,
Ax = λx여기서 λ는 상수이며, 이를 Eigenvalue(고유값)이라 하고, 벡터 x는 Eigenvector(고유벡터)라고 부른다.
(A - λI)x = 0여기서 I는 항등행렬(identity matrix)을 나타내며, det(A - λI) = 0을 만족하는 λ를 찾는 것이 중요하다.
이때 det는 행렬의 determinant를 나타냅니다.
위 식을 만족하는 λ를 찾으면, 이에 대응하는 Eigenvector를 찾을 수 있다.
행렬 A - λI를 만듭니다.
행렬 A - λI의 determinant를 구합니다.
행렬 A - λI의 determinant가 0이 되는 λ를 찾습니다.
λ를 이용하여 Ax = λx의 식을 만족하는 Eigenvector x를 찾는다.Eigenvalue와 Eigenvector는 다양한 분야에서 활용되며, 특히 선형변환에서 사용된다.
Eigenvalue는 선형변환을 할 때 벡터가 어떤 방향으로 늘어나거나 줄어드는지를 나타내며,
Eigenvector는 그 방향을 나타낸다.
