출장을 위해 비행기를 타려고 합니다. 당신은 우산을 가져가야 하는지 알고 싶어 출장지에 사는 친구 3명에게 무작위로 전화를 하고 비가 오는 경우를 독립적으로 질문해주세요. 각 친구는 2/3로 진실을 말하고 1/3으로 거짓을 말합니다. 3명의 친구가 모두 “그렇습니다. 비가 내리고 있습니다”라고 말했습니다. 실제로 비가 내릴 확률은 얼마입니까?

해당 시리즈에서는 데이터 사이언스 인터뷰 질문 모음집 에서 소개한 질문들에 대한 답변을 다룹니다.

궁금한 사항, 혹은 잘못된 내용 발견시 댓글 부탁드립니다.

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문제 정의

해당 문제는 베이즈 정리로 풀 수 있습니다. 다음과 같이 사건을 정의합시다.

$A$: 실제로 비가 내리는 사건
$B$: 3명의 친구가 모두 "그렇습니다. 비가 내리고 있습니다."라고 얘기한 사건

그렇다면 우리가 구하고 싶은 확률
"친구들이 모두 yes라고 말했을 때, 출장지에 비가 내리고 있을 확률"
은 베이즈 정리에 따라 아래와 같습니다.

따라서 이를 해결하기 위해 우리는 $P(A),\ P(B),\ P(B|A)$ 를 알아야 합니다.

P(A)

$P(A)$, 즉 출장지에 비가 내릴 확률은 모릅니다. 임의로 $p$라고 합시다.

P(B)

$P(B)$, 3명의 친구 모두 비가 내린다고 대답할 확률은 아래와 같이 두가지 경우로 나눌 수 있습니다.
1) 비가 내리면서 친구들이 모두 진실을 말하는 경우와,
2) 비가 내리지 않고 친구들이 모두 거짓을 말하는 경우.

따라서 $P(B)$는 아래와 같습니다.

$P(B|A)$는 친구들이 모두 진실을 말하는 상황이므로 $P(B|A) = (2/3)^3 = 8/27$ 입니다.
$P(A)=p$ 입니다.

$P(B|A^c)$는 친구들이 모두 거짓을 말하는 상황이므로 $P(B|A^c) = (1/3)^3 = 1/27$ 입니다.
$P(A^c) = 1-p$ 입니다.

이를 대입하면 아래와 같습니다.

P(B|A)

이미 위에서 $P(B)$를 구하는 과정에서 구했습니다.
$P(B|A) = 8/27$ 입니다.

결과

앞서 구한 $P(A), P(B), P(B|A)$를 이용하여 $P(A|B)$를 계산하면 아래와 같습니다.

출장지에 실제로 비가 올 확률 $p$에 따라서 결과가 달라짐을 확인할 수 있습니다. 예를 들어,

출장지에 항상 비가 오는 경우, 친구들이 무슨 말을 하더라도 출장지에는 비가 옵니다.
즉, $P(A|B)=1, \text{when } p=1$

반대로 출장지에 비가 절대로 오지 않는 경우, 친구들이 무슨 말을 하더라도 출장지에는 비가 오지 않습니다.
즉, $P(A|B)=0, \text{when } p=0$