[KHUDA FINANCE] 3. TVM(Time Value of Money)/ Duration/Convexity

rlask.rbs·2026년 9월 13일

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1. TVM(Time Value of Money)

같은 100만원이라도 "지금 받느냐 vs 나중에 받느냐"에 따라 가치가 다르다.

돈은 지금이 가장 가치 있음 → 적게 받더라도 지금 받는게 낫다(할인율 관점)(ex. 카드 즉시 할인 vs 캐시백)

돈은 갈수록 가치가 떨어짐 → 나중에 받을 거면 지금 더 많이 받아야 한다(이자율 관점)(ex. 인플레이션)

1-1. 이자율(Interest Rate)

이자율은 돈을 빌려주거나 투자했을 때, 원금 대비 얼마나 더 받을 수 있는지를 나타내는 비율

채권자(할인율) 관점: "100만 원을 빌려주면, 1년 후 이자율 5%만큼 얹어서 105만 원을 받겠다"

채무자(이자율) 관점: "100만 원을 빌리는 대가로, 1년 후 5만 원을 추가로 지불하겠다"

1. 이자율 구성 요소

실제 이자율은 여러 요소가 합쳐져 결정. 대표적인 분해 방식(피셔 방정식 등)은 다음과 같다.

명목이자율 ≈ 실질이자율 + 기대인플레이션율 + 위험프리미엄

구성 요소	설명
실질이자율	물가 변동을 제외한 순수한 자본의 시간가치 (돈을 못 쓰는 것에 대한 보상)
기대인플레이션율	돈의 구매력이 떨어질 것을 보상해주는 부분
위험 프리미엄	돈을 못 돌려받을 위험(신용위험), 유동성 위험 등에 대한 추가 보상

예를 들어 국채 금리는 위험이 거의 없어 "실질이자율 + 인플레이션" 정도로 낮게 형성되지만, 신용등급이 낮은 회사채는 여기에 위험 프리미엄이 추가로 붙어 금리가 더 높다.

2. 명목이자율 vs 실효이자율

이자를 1년에 몇 번 복리로 계산하느냐에 따라서도 실제 받는 금액이 달라진다.

명목이자율(APR, Annual Percentage Rate): 연 단위로 표시된 이자율 (복리 계산 횟수는 반영 안 함)
실효이자율(EAR, Effective Annual Rate): 복리 계산 주기를 반영한 실제 연간 수익률
$EAR=(1+r/m)^m−1$

여기서 m은 연간 복리 계산 횟수(월복리면 12, 일복리면 365), 같은 명목이자율이어도 복리 주기가 짧을수록(월복리 > 연복리) 실효이자율은 더 높아진다.

3. 이자율의 종류

1. 무위험이자율 (Risk-free Rate)
부도(채무불이행) 위험이 전혀 없다고 가정하는 이론적인 이자율

현실에는 100% 무위험한 자산은 없지만, 국가가 망하지 않는 한 원리금을 반드시 갚는다고 가정하는 국채(특히 단기 국채) 금리를 대리 지표로 사용
모든 자산의 요구수익률은 "무위험이자율 + 위험프리미엄"으로 쪼개서 생각할 수 있기 때문에, 자산가격결정 모형(CAPM 등)의 출발점이 된다.

2. 할인율 (Discount Rate)

미래의 현금흐름을 현재가치(PV)로 환산할 때 적용하는 이자율입니다.

앞서 TVM에서 다룬 $PV = CF/(1+r)ⁿ$ 의 그 r이 바로 할인율입니다.
동시에 투자자가 요구하는 최소 수익률(요구수익률) 이라는 의미도 가집니다. 즉, "이 정도 수익률은 나와야 투자할 가치가 있다"는 기준선 역할
위험이 클수록 할인율이 높아지고, 할인율이 높을수록 같은 미래 현금흐름이라도 현재가치는 낮아진다.
주식 가치평가(DCF)에서 미래 배당이나 잉여현금흐름을 현재가치로 환산할 때, 부동산 임대수익을 현재가치로 평가할 때 등

3. 기준금리 (Base Rate / Policy Rate)

중앙은행(한국은행, 미국 연준 등)이 통화정책 목적으로 결정하는 정책금리

한국은행 금융통화위원회가 약 6주(1년에 8회)마다 결정합니다.
은행 간 초단기 자금거래(콜금리) 등의 기준이 되며, 이를 통해 예금·대출금리, 시장금리 전반에 파급 효과를 줍니다.
무위험이자율과는 다른 개념이다. 기준금리는 정책적으로 "결정"되는 값이고, 무위험이자율(국채금리)은 시장에서 "형성"되지만 기준금리의 영향을 크게 받는다.

4. 시장이자율 (Market Interest Rate)

채권시장 등에서 실제 수요와 공급에 의해 거래되며 형성되는 이자율

기준금리는 정책당국이 정하는 하나의 값이지만, 시장이자율은 만기·신용등급·수급 상황에 따라 매 순간 다르게 형성되는 실거래 금리
3년 만기 국고채 금리, 회사채 금리, 은행 예금·대출금리 등이 모두 시장이자율의 예시
기준금리가 변하면 시장 참여자들의 기대가 바뀌면서 시장이자율도 함께 움직이지만, 항상 정확히 같이 움직이는 것은 아니다.(예: 향후 금리 인하 기대가 선반영되면 시장금리가 먼저 하락하기도 함).

1-2. 현재가치와 미래가치

미래가치와 현재가치는 일반적으로 복리를 전제로 계산함

미래가치(FV, Future Value): 현재의 현금이 미래 특정 시점에 얼마가 되는지 나타낸 값
현재가치(PV, Present Value): 미래의 현금을 현재 시점의 가치로 환산한 값

미래가치와 현재가치는 일대일대응?

미래가치는 평가하는 미래 시점이 여러 개일 수 있기 때문에 $FV_1, FV_2, \dots, FV_n$ 처럼 여러 개 존재할 수 있지만, 현재가치는 기준시점을 현재( $t=0$ )로 고정하므로 보통 하나의 $PV$ 로 표현됨.
관계 및 수식
미래가치 : $FV_n = PV(1+r)^n$
현재가치 : $PV = \frac{FV_n}{(1+r)^n}$
r: 이자율(할인율)
n: 기간

1-3. 무위험 이자율의 계산

무위험이자율은 "정해지는" 게 아니라 "채권가격에서 역산되는" 것

미국 재무성이 다음과 같이 발표한다고 하자.

"현재 $0.9942를 빌려주면 1년 뒤 $1을 드립니다."

이 경우 1년 무위험이자율은:

$r_1 = \frac{1}{0.9942} - 1 = 0.58345$

즉, 이자율을 먼저 정하고 채권가격이 따라오는 게 아니라, 시장에서 형성된 채권가격을 보고 이자율을 역산하는 것.

왜 주가가 떨어지면 채권가격이 오를까?

이자율이 채권가격을 결정하는 게 아니라, 채권가격이 이자율을 결정한다는 걸 알면 쉽게 풀림.
주가 하락 → 투자자들의 무위험자산(채권) 수요 증가 → 채권가격 상승 → (채권가격에서 역산되는) 이자율은 자연히 하락.
즉 "이자율이 낮아져서 채권가격이 오른 것"이 아니라 "채권가격이 올라서 이자율이 낮아진 것". 다만 채권이 이자율에 민감하게 반응하는 자산이라는 사실 자체는 변하지 않음 (→ 이 민감도를 다루는 게 바로 듀레이션·볼록성)

1-4. 만기수익률 (Yield to Maturity, YTM)

미국 재무성이 다음과 같이 발표한다면:

"현재 $0.881659를 빌려주면 2년 뒤 $1을 드립니다."

$0.881659 \times (1+r_2)^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad r_2 = 6.5\%$

이렇게 계산된 연 6.5%가 2년 만기 채권의 만기수익률(YTM)
만기가 다르면 왜 연간 이자율도 달라질까?
- 신용등급이 A+인 사람에게 1년간 5%로 빌려줬다고 해서, 2년간 빌려줄 때도 연 5%가 적용되는 건 아님
- 1년 뒤 신용등급이 오를 수도, 내릴 수도 있기 때문에 기간이 길어질수록 불확실성(위험)이 커짐
- 따라서 일반적으로 만기가 길어질수록 더 높은 이자율을 요구함

1-5. 이자율의 기간구조 (Term Structure)와 수익률곡선 (Yield Curve)

미국 재무성 발표 예시:

만기	현재 지불액	1년 뒤 수령액	연 이자율(YTM)
1년	$0.943396	$1	6.0%
2년	$0.881659	$1	6.5%
3년	$0.816298	$1	7.3%대

만기별로 다르게 형성되는 이 이자율 체계를 Term Structure(이자율의 기간구조)라 함
시장에서 관측된 점들을 매끄러운 곡선으로 이은 것이 Yield Curve(수익률곡선)
곡선을 어떻게 보간(연결)할지는 그 자체로 어려운 연구 주제
기간이 길어질수록 이자율이 높아지는 이유: 시간이 지날수록 경제 상황의 불확실성이 커지기 때문

2. 듀레이션(Duration)

2-1. 듀레이션의 정의 및 유도 과정

만기가 T인 무이표채(Zero-coupon Bond)를 t 시점에 평가한 가격을 $P(t,T)$ 라 하면, 이 가격은 t~T 사이에 적용되는 이자율 $r(t,T)$ 에 의해 결정되는 확률변수임 (연속복리 가정)

자연스러운 질문: "이자율 $r(t,T)$ 가 변하면 채권가격은 얼마나 변할까?" → 이 질문에 답하는 개념이 Duration(듀레이션)

Duration은 이자율 변화량에 대한 채권가격의 변화율, 즉 이자율 변동에 대한 채권가격의 민감도

ex) Duration = 3 이라는 의미: 이자율이 1% 오르면 채권가격은 3% 내려감 (반대 방향으로 움직임)

$-\text{Duration} \times dr = \text{가격변화율}$
$-\text{Duration} \times dr \times P(t,T) = dP(t,T) \; (\text{가격변화량})$

Duration = 잔존기간(T−t) 유도

연속복리 가정 하에서 무이표채 가격은 다음과 같이 쓸 수 있음
$P(t,T) = e^{-r(t,T)(T-t)}$

이를 이자율 $r$ 로 미분하면:
$\frac{\partial P(t,T)}{\partial r} = -(T-t) \cdot e^{-r(t,T)(T-t)} = -(T-t) \cdot P(t,T)$

즉,
$dP(t,T) = -(T-t) \times dr \times P(t,T)$

이를 정의식 $dP(t,T) = -\text{Duration} \times dr \times P(t,T)$ 와 비교하면, 자연스럽게 Duration = (T−t) = 잔존기간이라는 결론이 나옴.

결론 : 만기가 많이 남은 채권일수록 이자율 변화의 영향을 더 오래(복리로) 받으므로 가격이 이자율에 더 민감하게 반응함. 반대로 만기가 임박한 채권은 이자율이 변해도 가격 변동폭이 작음 — "Duration = 잔존기간"은 곧 "만기가 길수록 이자율 리스크에 더 크게 노출된다"는 직관과 일치함.

2-2. duration의 종류

Modified Duration (수정 듀레이션)
- 만기수익률(YTM)이 1% 변할 때 채권가격이 몇 % 변하는지 나타내는, YTM에 대한 민감도
Macaulay Duration (맥컬리 듀레이션)
- 모든 현금흐름을 회수하기까지 걸리는 시간의 가중평균
- 현금흐름을 할인할 때는 만기수익률(YTM)을 사용
  
  A에게 100원을 빌려주고 10년에 걸쳐 10원씩 갚기로 하면, 가까운 미래엔 돈을 받을 확률이 높지만 시간이 지날수록 불확실성이 커짐. Macaulay Duration은 이 회수 시점들의 평균적인 시간
- 이자율 변동에 따른 가격 민감도라는 기존 Duration 개념과는 다소 결이 다르지만, Duration 자체가 채권투자 위험을 나타내는 광범위한 개념이므로 위험지표의 하나로 볼 수 있음
Effective Duration (유효 듀레이션)
- 채권가격을 이자율로 미분하는 수학적 어려움을 피하기 위해 만든 근사 방법
- 수치적 미분의 중앙차분법(central difference)을 이용해 근사적으로 Duration을 측정

2-3. Duration → Value at Risk / Expected Shortfall

채권가격 변화량 공식
$dP(t,T) = -\text{Duration} \times dr \times P(t,T)$

여기서 $P(t,T)$ 를 상수로 고정하면, 채권가격 변화량은 결국 이자율의 확률분포에만 의존
만약 이자율 변화량 $dr$ 이 정규분포를 따른다고 가정하면

채권가격 변화량 $dP$ 도 하나의 확률분포를 가짐
이 확률분포를 알면 "채권가격 변화의 95%를 커버하는 손실 규모는?"에 답할 수 있음 → 이것이 바로 Value at Risk (VaR)의 정의
같은 논리로 Expected Shortfall (ES)도 정의 가능

실무적 의미

채권 $P(0,T)$ 를 보유한 기업이 미래 t 시점에 사업상 큰 지출로 인해 채권을 팔아야 하는 상황이 올 수 있음. t 시점의 정확한 가격 $P(t,T)$ 는 확률변수라 미리 알 수 없지만, 그 확률분포를 알면 $alpha\%$ 신뢰수준에서의 가격 범위(VaR)를 미리 파악해 대비할 수 있음. 극단적인 값의 실현 가능성은 낮으므로, "일어날 가능성이 큰 것들 중 가장 큰 손실"만 알아도 상당한 대비가 가능함.

3.Convexity(채권의 볼록성)

3-1. Duration의 한계

Duration을 이용한 채권가격 변화량 공식:

$dP(t,T) = -\text{Duration} \times dr \times P(t,T)$

이것은 이자율 변화에 대한 1차 테일러 전개(1차 선형근사)이다. 즉, 채권가격 함수를 현재 지점에서 직선으로 근사한 것입니다.

하지만 실제 시장에서 관측되는 채권가격과 이자율의 관계는 비선형이다.

이자율이 내려가면 → 채권가격이 올라감 (비례 이상으로 상승)

이자율이 올라가면 → 채권가격이 내려감 (비례 이하로 하락)
이를 그래프로 그리면 곡선 모양이 되는데, Duration의 직선 근사는 크기가 큰 이자율 변화에 대해 점점 오차를 만든다.
이 오차를 보정하기 위해 2차 항(Convexity)이 필요한 것이다.

3-2. 채권가격과 이자율의 관계식 (연속복리)

무이표채의 가격:

$P(t,T) = e^{-r(t,T)(T-t)}$

이자율 $r$ 이 증가하면 → $e$ 의 지수가 더 음수로 커져서 → 가격이 더 빠르게 내려감 (음의 관계)
하지만 내려가는 속도는 이자율 수준에 따라 달라짐 (비선형)
이를 시각화하면, 이자율-가격 관계 곡선이 아래로 볼록한 곡선(convex)이 된다. 따라서 이 곡률 자체를 수치화하는 것이 Convexity이다.

3-3. Convexity의 정의: 2차 테일러 전개

$P(t,T)$ 를 현재 이자율 수준 $r_0$ 주변에서 2차 테일러 전개하면:

$P(t,T) \approx P(r_0) + \frac{\partial P}{\partial r}\bigg|_{r_0} \cdot dr + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}\bigg|_{r_0} \cdot (dr)^2 + \cdots$

2차 테일러 전개에서 가격변화량은:

$dP(t,T) = \frac{\partial P}{\partial r} \cdot dr + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2} \cdot (dr)^2 + \cdots$

여기서 2차 항 $\frac{1}{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2} \cdot (dr)^2$ 를 현재가격 $P(t,T)$ 로 나누면:

$\frac{dP}{P} = \frac{1}{P} \cdot \frac{\partial P}{\partial r} \cdot dr + \frac{1}{2P} \cdot \frac{\partial^2 P}{\partial r^2} \cdot (dr)^2$

즉, 백분율 수익률로 표현하면:

$\frac{dP}{P} = -\text{Duration} \times dr + \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{P} \cdot \frac{\partial^2 P}{\partial r^2}\right) \times (dr)^2$

여기서 괄호 안의 $\frac{1}{P} \cdot \frac{\partial^2 P}{\partial r^2}$ 를 Convexity라고 정의한다.

$dP(t,T) = \underbrace{-\text{Duration} \times dr \times P(t,T)}_{\text{1차}} + \underbrace{\frac{1}{2}\text{Convexity} \times (dr)^2 \times P(t,T)}_{\text{2차}}$

3-4. 최종 정의

Convexity는 다음과 같이 정의됩니다:

$\text{Convexity} = \frac{1}{P(t,T)} \cdot \frac{\partial^2 P(t,T)}{\partial r^2}$

또는 정규화된 형태(흔히 사용):

$\text{Convexity}(\text{normalized}) = \frac{1}{P(t,T)} \cdot \frac{\partial^2 P(t,T)}{\partial (1+y)^2}$

여기서 $y$ 는 만기수익률(YTM)

3-5. Convexity의 부호와 의미

Positive Convexity (양의 볼록성): 일반적인 채권
- Convexity 항이 양수이므로 → 이자율이 올라갈 때 손실을 줄여주고, 내려갈 때 이득을 늘려줌
- 투자자에게 유리한 특성
Negative Convexity (음의 볼록성): 일부 채권(예: 미국 국채 선물 옵션 내재 채권)
- 콜옵션(issuer가 채권을 조기상환할 권리)이 있을 때 발생
- Convexity 항이 음수이므로 → 이자율이 내려갈 때 이득이 제한됨

3-6. 현실에서의 중요성

정확한 위험 측정: Duration만으로는 큰 이자율 변화를 제대로 예측 못 함 → Convexity 포함 필수
포트폴리오 헤징: 여러 채권의 Duration과 Convexity를 함께 관리해야 리스크 제어 가능
상대가치 평가: 같은 Duration이라도 Convexity가 높은 채권이 가치 있음 → 선호도 차이 발생
이자율 시뮬레이션: 큰 시장 변동(금리 급등/급락)을 시뮬레이션할 때 1차 근사로는 충분하지 않음

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