리스크 지표

기출 문제(과거 백테스트)에서 Sharpe가 높다고 해서 실전에서 안전하다는 보장은 없음. Sharpe는 상승·하락 변동성을 구분하지 않고, 꼬리 위험을 반영하지 못하기 때문임.

---

2-1) Sharpe Ratio의 한계

$Sharpe = \frac {(R_p − R_f)}{ σ_p}$

• $Y축$: $R_x$ (수익률)
• $X축$: $StdDev(x)$ (표준편차, 변동성, $a$)
• $R_f$: 무위험수익률
• 직선의 기울기 = Sharpe Ratio

• 수익률이 정규분포를 따른다는 암묵적 가정 존재
• 상방 변동성(좋은 변동성)과 하방 변동성(나쁜 변동성)을 구분하지 않음 → 급등도 σ를 키워 Sharpe를 깎아먹음
• 극단적 손실(꼬리 위험)에 둔감함 — 왜도(skewness), 첨도(kurtosis)가 큰 전략(예: 옵션 매도 전략)의 위험을 과소평가

---

2-2) Sortino Ratio

하방 변동성(Downside Deviation)만 분모에 사용해, 상승 변동성이 지표를 깎아먹는 문제를 보완함.

$Sortino = \frac{(R_p − R_f)}{σ_d}$

$σ_d = sqrt( (\frac{1}{n}) · Σ min(R_t − MAR, 0)² )$

• MAR (Minimum Acceptable Return): 최소 목표 수익률 (보통 0 또는 무위험수익률)
• 손실 방향의 변동성만 페널티로 반영하므로, 상승장에서 크게 오르는 전략을 과도하게 불리하게 평가하지 않음

---

2-3) Calmar Ratio

연환산 수익률을 최대낙폭(MDD)으로 나눈 지표로, "회복 가능한 손실 대비 수익"을 직관적으로 보여줌.

$Calmar = \frac{R_p - R_f}{|MDD|}$

• 변동성이 아니라 실제로 경험한 최악의 손실 구간을 기준으로 삼기 때문에, 실전 투자자의 심리적 손실 허용 범위와 더 가깝게 맞닿아 있음
• 표본 기간이 짧으면 MDD 자체가 과소추정될 수 있어 장기 데이터에서 더 신뢰도가 높음

---

2-4) VaR (Value at Risk)

주어진 신뢰수준에서 일정 기간 동안 발생할 수 있는 최대 예상 손실을 나타냄.

VaR의 해석

"95% 신뢰수준에서 1일 VaR가 −2%"라는 말은, 하루 손실이 2%를 넘을 확률이 5%라는 의미임 (반대로 말하면 95%의 경우 손실이 2% 이내로 그친다는 뜻).

추정 방식은 크게 세 가지임.

방식	방법	특징
Parametric (분산-공분산)	수익률이 정규분포를 따른다고 가정, 평균·표준편차로 계산	계산이 간단하나 정규성 가정의 한계 존재
Historical Simulation	과거 실제 수익률 분포를 그대로 사용, 하위 분위수를 VaR로 사용	분포 가정이 없으나 과거에 없던 극단 상황 반영 못함 ,
Monte Carlo	가정한 확률과정으로 수익률을 대량 시뮬레이션 후 분위수 추출	유연하나 모델 리스크(가정한 확률과정의 적절성) 존재, 극단 시나리오 분석

---

2-5) CVaR (Conditional VaR, Expected Shortfall)

VaR는 "그 지점까지의 손실 한계"만 알려줄 뿐, VaR를 초과했을 때 평균적으로 얼마나 잃는지는 말해주지 않음. CVaR은 이 지점을 보완함.

$CVaR_α = E[ Loss | Loss > VaR_α ]$

즉 VaR을 넘어서는 최악의 시나리오들만 모아 그 평균 손실을 계산한 값으로, 꼬리가 두꺼운(fat-tail) 전략의 위험을 VaR보다 훨씬 잘 포착함.

• CVaR이 VaR보다 선호되는 이유 (Coherent Risk Measure)
  VaR는 포트폴리오를 분산해도 리스크 지표상으로는 오히려 증가하는 것처럼 보이는 경우(Subadditivity 위반)가 존재할 수 있음. CVaR는 이 수학적 성질(Subadditivity)을 만족하는 일관적 위험측도(Coherent Risk Measure)로, 분산투자의 효과가 지표에도 항상 반영됨. 이 때문에 Basel III 이후 은행권 리스크 관리 기준도 VaR에서 CVaR(Expected Shortfall) 중심으로 이동함.

VaR의 Subadditivity(부가조건) 위반

분산투자의 기본 원칙은 "리스크(A) + 리스크(B) ≥ 리스크(A+B)"를 만족해야 한다는 것. 즉 두 자산을 합치면 리스크는 줄어들거나 같아야 함.
그런데 VaR은 이 원칙을 위반하는 경우가 존재함.

자산 A의 95% 지점 손실: −1%
자산 B의 95% 지점 손실: −1%

개별적으로 VaR을 더하면:

$VaR_A + VaR_B = −1\% + (−1\%) = −2\%$

근데 포트폴리오 A+B의 95% 지점 손실을 계산하면:

$VaR_{A+B} = −21\%$

비교:
$−21\% \not< −2\%$

오히려 더 큰 손실이 발생함

VaR의 한계

• VaR은 95% 지점이라는 특정 한 점에서의 손실값만 봄
• 95% 이상의 극단 손실 구간(5% 꼬리 부분)의 전체 분포는 고려하지 않음
• 개별 자산 A, B가 동시에 극단값에 빠질 가능성을 제대로 반영하지 못함

VaR은 다음을 가정함:

개별 VaR = (VaR_A의 95% 지점) + (VaR_B의 95% 지점)
        = −1% + (−1%)
        = −2%

근데 실제로는:

포트폴리오 VaR = 극단값 시나리오들의 95% 분위수
               = −21% (극단값 동시 발생 반영)

CVaR이 필요한 이유

CVaR은 극단값 구간의 모든 손실들의 평균을 취하기 때문에:

• 동시 극단값 발생을 반영함
• 항상 Subadditivity를 만족함
• 분산효과를 정확하게 평가함

---

결국 하나의 지표만으로 전략을 평가하기보다, Sharpe/Sortino로 위험 대비 효율성을, CVaR로 최악의 시나리오를 동시에 점검하는 것이 실전 리스크 관리에 가깝다고 볼 수 있음.