Variogram

시계열 데이터가 stationary한지 알기 위해서는 plot을 그려 해당 데이터의 경향을 볼 수도 있고, sample ACF의 plot을 그려 0으로 수렴하는지 볼 수도 있다. 이에 더해 stationary한지를 유추할 수 있는 방법이 하나 더 있는데, 바로 Variogram이다.

하지만 variogram도 하나의 대안적 방법일 뿐, 실제 필드에서 stationary한지 정확히 알 수 있는 명확한 기준은 존재하지 않는다고한다.

책의 문장을 인용하면 아래와 같다.

The Variogram $G_k$ measures variances of the differences between observations that are $k$ lags apart, relative to the variances of the differences that are one time unit apart.

수학적 정의는 아래와같다.

만약 time series가 stationary하다면, $G_k$는 아래와 같은 형태로 변형할 수 있다.

이때 time series가 stationary하면, $k$가 증가함에 따라 $\rho_k \rightarrow 0$이기 때문에 $G_k \rightarrow \frac{1}{(1-\rho_1)}$로 수렴하게된다. 하지만 nonstationary하다면 $G_k$는 monotonically increase한다.

이때 $G_k$를 알기 위해서는 모수적 통계량인 $\rho_k$를 알아야 하므로 $G_k$ 또한 모수적 통계량이다. 따라서 $G_k$의 estimator를 알아보도록하자.

아래 두 plot은 각각 stationary한 데이터의 sample variogram, nonstationary한 데이터의 sample variogram이다. stationary한 데이터는 한 값으로 수렴하는데 반면, nonstationary한 데이터는 값이 일정하게 증가하는 양상을 볼 수 있다.

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Reference: Introduction to Time Series Analysis and Forecasting 2nd by Douglas C. Montogomery

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