이진 트리의 균형과 Red-Black & AVL 트리

agugu95·2020년 5월 26일
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목표

  • Red-Black 트리를 이해한다.
  • AVL 트리를 이해한다.

RED-BLACK 트리

  • 이진 검색 트리는 평균적으로 O(logN)O(logN)의 삽입, 삭제, 검색 연산속도를 가진다.
  • 이진 검색 트리의 구성 조건은 left < root < right
    이런 조건에 따라서 랜덤한 데이터가 아닌 순차정렬 된 데이터가 들어올 때
    이진 검색 트리는 편향 트리가 된다.
  • 트리의 속도는 트리의 깊이에 따라 결정 되기에 편향 트리의 시간복잡도는 O(N)O(N)까지 늘어난다.
    이러한 일을 방지하기 위해서 트리 깊이의 균형을 Red-Black 트리를 통해 맞출 수 있다.

    이렇게 트리의 깊이가 균형이 맞게 된다면 이진 탐색 알고리즘의 속도와 비슷해져서 아주 효율적으로 사용할 수 있다.
  • 자바에서는 treeSet, treeMap이 Red-Black 트리를 구현하고 있다.

Red-Black 트리의 구성

조건

  1. 트리의 모든 노드는 레드 or 블랙
    그림과 같이 트리는 레드와 블랙으로만 구성되어 있다.

  2. 루트 노드는 무조건 블랙
    루트 13은 블랙이다.

  3. 모든 리프 노드(자식 없는 노드)는 블랙(Sentinel Node가 블랙인거에 유의)

  4. 루트 노드에서 리프 노드까지 블랙의 갯수는 항상 같다.
    그림 상 있는 NIL까지 도달할 때 보더라도
    리프 노드 6은 블랙 노드 1을 만난다.
    리프 노드 22는 블랙 노드 25를 만난다.
    리프 노드 27은 블랙 노드 25를 만난다.

  5. 레드 노드의 자식은 모두 블랙, 블랙 노드의 자식은 상관없음

동작

  • 레드-블랙 트리도 이진 탐색 트리기때문에 탐색, 삽입, 삭제 연산으로 동작한다.
  • 탐색 연산은 변경할 필요가 없으나 삽입, 삭제 연산의 경우 균형을 맞춰주는 동작이 필요하다.

Restructuring, Recoloring 연산

자신(Z)과 부모 노드(V)가 레드라면

  • 삼촌 노드(W)가 블랙일 때 Restructuring(Rotation)

  1. 나(Z)와 내 부모(V), 내 부모의 부모(조상)을 오름차순으로 정렬한다
  2. 무조건 가운데 있는 값을 부모로 만들고 나머지 둘을 자식으로 만든다
  3. 올라간 가운데 있는 값을 블랙으로 만들고 그 두 자식들을 레드로 만든다
  • 삼촌 노드(W)가 레드일 때 Recoloring

  1. 삽입된 노드(Z)의 부모와 삼촌(W)을 블랙으로 하고 부모의 부모를 레드로 만든다
  2. 내 부모의 부모가 Root가 아니었을 시 더블 레드가 다시 발생 가능

시뮬레이터를 통한 동작

  • 13 삽입, 루트, 검정

  • 10 삽입, 레드

  • 15 삽입, 레드

  • 8 삽입, 레드
    더블 레드가 발생했다.
    자신(8)도 레드고 부모(10)도 레드라면 삼촌 노드(15)를 확인
    삼촌 노드가 레드니 recoloring

    이 때 부모의 부모를 레드로 만들어야하나 그렇게 되면 루트는 블랙이라는 규칙에 위배 되므로 다시 검정으로 변경한다.

  • 12 삽입, 레드

  • 11 삽입, 레드
    또 더블 레드가 발생
    삼촌 노드(8)을 확인 해보니 레드, recoloring

  • 12 삽입, 레드

  • 12 삽입, 레드
    더블 레드로 인해 삼촌 노드(11) 확인, 레드니까 recoloring

  • recoloring을 했는데 더블 레드가 발생
    더블 레드가 발생한 (12)의 삼촌 노드(8)을 확인했는데 블랙이니 restructuring

  • right double red니 left rotation을 통해 레드를 제거
    다시 더블 레드가 발생
    left double red는 right rotation을 통해 제거

  • 중복값들을 이용하여 시뮬레이션을 돌려서 좀 헷갈리긴 하는데
    요컨대 더블 레드가 발생 시 어떤 기준에 의해 restructuring, recoloring 통해 균형이 맞추어 지는지 알 수 있고 결국에 중요한 건 트리의 높이라는 걸 알 수 있다.
  • 그래서 균형이 맞춰지는가?
    레드 블랙 트리의 균형을 책임지는 건 "루트부터 리프까지 블랙 노드의 개수는 같아야한다."
    레드는 중복될 수 없으니 반드시 레드와 레드 사이엔 하나의 블랙 노드를 끼게 되고 이는 곧 레드 블랙 트리의 총 깊이가 된다.

    결국 블랙 노드만을 가지는 가장 짧은 깊이와 블랙-레드의 차이는 최대 2배의 차이밖에 나지않는다.
    루트-블랙-블랙-블랙-블랙 = 4
    루트-레드-블랙-레드-블랙-레드-블랙-레드-블랙 = 8 / 2 = 4

AVL 트리

AVL트리가 나온 이유도 Red-Black 트리와 동일한데 다른 점은 Balnce Factor(BF)를 통해 균형을 맞춘다.

  • BF는 -1, 0, 1로 이루어져 있으며 이 범위를 벗어난다면 그 트리의 균형은 깨진거다.
  • 왼쪽 서브 트리에서 오른쪽 서브트리를 뺀 값이 그 노드의 BF가 된다.

Roatation

BF 값을 통한 균형은 rotationrotation을 통해 이루어진다.
rotation은 BF가 2 이상, -2 이하로 바뀐 노드를 기준으로 rotation이 이루어진다.

Single Rotation

  • x에 값 삽입 시 오른쪽 서브트리(3) - 왼쪽 서브트리(1) = 루트(2)
    왼쪽 서브트리 v의 서브트리는 2 - 1 = v(1)
    루트의 BF가 2 이므로 ratation이 일어나야 한다.

  • v를 새로운 루트 노드로 만들기 위해 오른쪽 서브트리 z를 내려 정렬한다.
    이진 탐색 트리의 조건은 left <= root <= right 기에 z를 내려도 조건에 부합한다.

  • 값을 통한 예

  • Right & Left

Double Rotation

  • 만약 한번의 rotation만으로 균형을 맞추지 못할 때 다시 연산이 필요하다.
  • 루트의 BF 값이 2 이상, 삽입되는 노드의 조상노드가 루트의 자식이면서 BF가 1 이하인 경우
    • 루트의 왼쪽 자식 노드의 오른쪽 서브트리에 새 노드 삽입
    • 루트의 오른쪽 자식 노드의 왼쪽 서브트리에 새 노드 삽입

  • 루트 u의 BF 값이 2, 삽입되는 노드의 조상 노드 v는 루트의 자식이면서 BF -1
    그리고 v는 루트의 왼쪽 자식 노드, 새 노드는 v의 오른쪽 서브 트리에 삽입 되었기에double rotation 요건에 부합한다.

  • 첫번째 : W를 중심으로 left rotation 수행 (A를 잡아 당겨 내리는 과정)

  • 두번째 : W를 중심으로 right rotation 수행 (D를 잡아 당겨 내리는 과정)

    • 균형
  • 값을 통한 예

  1. v = -1, u = 2
  2. 조건 판단
  3. double rotation
  4. w 기준 left rotation
  5. w 기준 right rotation
  6. 루트는 0, 왼쪽 서브트리 0, 오른쪽 서브트리 -1로 균형

Red-Black vs AVL

  • AVL트리는 더욱 엄격한 균형을 이루고 있기 때문에 Red-Black 트리보다 더 빠른 조회를 제공
  • Red-Black 트리는 상대적으로 느슨한 균형으로 인해 회전이 거의 이루어지지 않기 때문에 AVL트리보다 빠르게 삽입 및 제거 작업을 수행
  • AVL트리는 각 노드에 대해 BF를 저장하므로 노드 당 int 저장이 필요
    Red-Black 트리는 노드당 1비트의 정보만 필요합니다. (플래그 반전만 시키면 됨)
  • Red-Black 트리는 맵, C++의 멀티캐스트, Java treeMap 등 대부분의 언어 라이브러리에서 사용, AVL트리는 더 빠른 검색이 필요한 데이터베이스에서 사용

참고

영문위키
레드블랙트리
권오흠 알고리즘
ratsgo 블로그
GeekforGeeks

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