선형대수의 응용

선형대수학의 응용

사진과 영상 데이터의 표현과 처리

사진과 영상의 색상을 표현하는 점들을 픽셀이라고 하는데, 그 픽셀들은 모두 숫자로 이루어져 있고 행렬로 표현할 수 있습니다. 행렬연산을 통해 사진을 변형하거나 필요한 정보들을 추출하는데 사용할 수 있습니다.

텍스트 데이터의 표현과 처리

어떤 문서에서 어떤 단어들이 몇 번 등장하는지를 행렬로 구성할 수 있습니다. 이 행렬을 통해 문서검색, 문서중요도 체크 등을 수행할 수 있습니다.

그래프 데이터의 표현과 처리

사람들은 쾨니히스베르크 다리를 보면서 이 다리를 한번씩만 지나가면서 모두 통과할 수 있을까를 궁금해했는데, 수학자 오일러는 한붓그리기 문제 증명을 통해 그것이 불가능하다는 것을 증명했습니다. 그때 그래프로 표현해서 증명했는데, 이것을 행렬로도 표현할 수 있습니다.

소셜 네트워크 데이터의 표현과 처리

요즘 SNS를 많이 할 것입니다. 거기에서 친구요청을 하고 수락을 하게 되면 친구관계로 연결이 이루어집니다. 그러한 정보들을 그림을 표현한다면 좌측 그림에 해당할 것입니다. 작은 단위이므로 좌측과 같은 그림으로 표현을 하겠지만 방대한 양이라면 더이상 그렇게 표현할 수 없을 것입니다. 그런데 행렬로 표현하면 단순해지고 이 행렬의 연산을 통해 필요한 정보들을 효율적으로 뽑아낼 수 있게 됩니다.

페이지 랭크

구글 검색 엔진에서 사용하는 알고리즘입니다. 우리가 구글에서 어떤 페이지를 검색하면 여러가지 페이지가 출력되는데, 그 때 사용자가 해당 페이지를 클릭하고, 또 그 페이지에서 다른 페이지로 넘어가기도 하는데 그러한 정보를 통해 페이지간 연결관계와 중요도를 확인할 수 있습니다. 이러한 정보들도 행렬로 표현할 수 있습니다.

컴퓨터 그래픽스

컴퓨터 게임을 하다보면 캐릭터를 원하는 위치로 옮길 수 있는데, 이 때도 뭔가 계산해서 옮겨야 하겠지요? 이 때 행렬 연산이 사용됩니다. 또한, 카메라 각도에 따라 물체의 모습들이 다르게 표현되어야 하는데 이 때에도 행렬 연산이 사용됩니다.

로보틱스

자동차 공장에서 로봇팔이 사용되는데, 로봇팔이 부품을 조립하는데 조금이라도 거리나 각도가 틀어지면 큰 문제가 생길 수 있습니다. 그 때 현재 로봇의 각도와 거리등을 행렬연산으로 계산할 수 있습니다.

전류법칙 계산

빨간색으로 표혀시된 곳의 전류를 계산하는 문제입니다. 키르히호프의 전류법칙과 전압법칙으로 계산을 하게 되는데 이 때 연립선형방정식을 사용합니다.

푸리에 변환

신호같은 걸 해석할 때 많이 사용되는 것이 푸리에 변환입니다. 어떤 함수가 f(x) 혹은 시간으로 표현될 때, 복소함수 형태로 고치는 것입니다. 복소함수로 변환하면 sin과 cos의 형태가 되어 물결무늬를 표현할 수 있게 되는데 신호처리 분석에 많이 활용됩니다.

차원 축소와 주성분 분석

차원축소(dimensionality reduction)

• 고차원 공간에서 표현되는 데이터를 저차원 공간의 데이터로 변환하는 것

주성분 분석(PCA)

• 대표적인 차원 축소 방법
• 데이터 행렬의 정보를 이해하기 위해 행렬의 고윳값과 고유벡터를 사용

3차원 데이터가 공간안에서 분포되는 형태를 보기 위해서는 공간을 돌려가며 분석해야 하는 어려움이 있습니다. 그래서 3차원 공간의 데이터를 2차원으로 차원으로 변환해서 분석하곤 하는데 그럴 때는 겹치는 부분이 발생하여 데이터 왜곡이 일어납니다. 그래서 PCA를 활용하면 데이터가 겹쳐지지 않도록 하면서 2차원으로 변환하도록 할 수 있습니다.

다변량 정규확률분포

고등학교 때, 변수가 하나인 정규분포는 많이 사용해보셨을 것입니다. 변수가 두개인 정규확률분포의 경우는 공분산이라는 것이 등장합니다. 이 공분산이 행렬로 나오고, 이 행렬을 모르면 풀 수가 없습니다.

칼만 필터

로봇, 미사일 등의 위치를 추정하기 위해 사용합니다. 미사일이 날아갈 때 바람 등의 영향을 받아 실제로 궤도는 흔들리면서 날아가게 됩니다. 이 때, 그 궤도 상의 노이즈가 발생하게 됩니다. 그 노이즈를 보정하며 원하는 위치로 날아가게 하는데, 이 때 사용하는 것이 칼만필터입니다.