역행렬1

마이클의 AI 연구소·2022년 2월 8일
선형대수
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역행렬 (Inverse Matrix) 1

역행렬

역행렬 = 행렬의 역수

역행렬은 숫자의 역수와 같은 개념으로, 행렬의 나눗셈으로 사용합니다. 왜 역수가 나누기 일까요?

10÷410\div4 를 계산할 때, 초등학생들은 2⋅⋅⋅22 \cdot \cdot \cdot 2 로 풀 수도 있지만 더 수준이 올라가면 10÷4=10×1410\div 4=10\times {1\over4} 와 같이 곱셈으로 치환 후, 약분으로 풀 수도 있습니다. 나눗셈은 역수로 치환하면 곱셈으로 풀 수 있습니다. 그러므로 a×1a=1a×a=1a \times {1\over a} = {1\over a}\times a = 1 이렇게 숫자와 그 수의 역수를 곱하면 1이 됩니다. 행렬도 이러한 성질이 존재합니다.

AB=BA=IAB = BA = I

위와 같이 행렬AA와 행렬BB가 곱하여 II행렬이 되는 경우 AA와 BB는 역행렬의 관계를 가집니다. 어느쪽으로 곱하여도 II가 됩니다.

역행렬의 표기

A−1A^{-1}

위와 같이 표기하고 AA insert 라고 합니다. 산술연산에서도 aa의 역수가 a−1a^{-1} 인 것처럼, 역행렬도 -1승으로 표현합니다. 분수로는 표현하지 않습니다.

AA−1=A−1A=IAA^{-1} = A^{-1}A = I

실습문제

다음 행렬 A와 B가 서로 역행렬인지 보이시오.

A=[4131],B=[1−1−34]A=\begin{bmatrix}4 & 1 \\ 3 & 1\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}1 & -1 \\ -3 & 4\end{bmatrix}
💡 서로 역행렬이라면 행렬곱연산을 해서 $I$가 나와야 함
[4131][1−1−34]=[1001]\begin{bmatrix}4 & 1 \\ 3 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & -1 \\ -3 & 4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}

계산을 통해 역행렬임을 확인할 수 있다!

가역행렬과 비가역행렬

역행렬이 존재한다는 것을 가역(invertible)이라고 말하고, 존재하지 않는 것을 비가역(noninvertible)이라고 합니다. 가역행렬은 역행렬이 존재하는 행렬이고, 비가역행렬은 존재하지 않는 행렬입니다.

가역(invertible)

  • 역행렬이 존재함

비가역(noninvertible)

  • 역행렬이 존재하지 않음

가역행렬

  • 역행렬이 존재하는 행렬 (=비특이행렬, 정칙행렬)

비가역행렬

  • 역행렬이 존재하지 않는 행렬 (=특이행렬)

실습문제

다음 행렬 A가 가역행렬인지 보이시오.

A=[2−35174000]A = \begin{bmatrix}2 & -3 & 5\\ 1 & 7 & 4\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}
💡 행렬 A와 어떤 행렬을 곱했을 때, I가 나와야 함

먼저, 행렬 AA와 임의의 값 XX로 채워진 행렬X를 곱한다고 가정해봅시다.

[2−35174000][XXXXXXXXX]=[??????000]\begin{bmatrix}2 & -3 & 5\\ 1 & 7 & 4\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}X & X & X\\ X & X & X\\X & X & X\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}? & ? &?\\ ? & ? & ?\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}

다른 숫자는 풀 수 없지만 행렬AA의 마지막 행은 모두 0이므로 결과 행렬의 마지막 행은 모두 0임을 알 수 있습니다. 그리고 II행렬은 I33I_{33}의 값은 1이어야 하므로 행렬 AA는 비가역행렬임을 알 수 있습니다.

역행렬의 유일성

정방행렬 A가 가역일 때, A의 역행렬은 단 하나만 존재할까요, 아니면 여러개가 존재할 수 있을까요?

만일, 행렬BB와 CC가 둘 다 AA의 역행렬이라고 가정해봅시다. 그렇다면 아래와 같은 식이 가능합니다.

BA=AB=I,  CA=AC=IBA = AB = I,\space \space CA=AC=I

BB에 II를 곱하면 BB가 되어야 합니다. 이 때, CA=ICA=I이므로 BB에 II 대신 ACAC 넣어 곱하면 B(AC)B(AC)가 됩니다. 그런데 교환법칙 외에는 모든 법칙이 성립하므로 B(AC)=(BA)CB(AC)=(BA)C로 전개할 수 있고, BA=IBA=I이므로 (BA)C=IC=C(BA)C=IC=C로 전개됩니다. 모두 정리해보면 아래와 같습니다.

B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=CB=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C

따라서 B=CB=C이므로 역행렬은 유일하다는 것을 증명할 수 있습니다.

2 x 2 행렬의 역행렬

역행렬을 계산하는 것은 복잡하므로 다음 시간에 깊이 다루어보기로 하고, 그 중 2 x 2 행렬은 가장 간단하므로 이번 시간에 배워보도록 합니다. 간단하므로 암기해보도록 합시다.

  • 행렬 A=[abcd]A=\begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix}에 대하여 ad−bc≠0ad - bc \ne 0 라면 가역이다.
  • 역행렬은 A−1=1ad−bc[d−b−ca]A^{-1} = {1\over {ad-bc}}\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}로 계산할 수 있다.
  • b,cb, c는 음수로 바꾸고, a,da, d는 자리를 바꿈

실습문제

다음 행렬이 가역행렬인지 판정하고, 가역행렬인 경우 역행렬을 구하라.

  1. A=[−5−342]A=\begin{bmatrix}-5 & -3 \\ 4 & 2\end{bmatrix}

    • 1ad−bc=12{1\over {ad-bc}} = {1\over 2}
    • [d−b−ca]=[23−4−5]\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & 3 \\ -4 & -5\end{bmatrix}
    • A−1=[132−2−52]A^{-1} =\begin{bmatrix}1 & {3\over 2} \\ -2 & -{5\over 2} \end{bmatrix}

  2. B=[1−1−32]B=\begin{bmatrix}1 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}

    • 1ad−bc=−1{1\over {ad-bc}} = -1
    • [d−b−ca]=[2131]\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 3 & 1\end{bmatrix}
    • B−1=[−2−1−3−1]B^{-1}=\begin{bmatrix}-2 & -1 \\ -3 & -1\end{bmatrix}

  3. C=[3612]C = \begin{bmatrix}3 & 6 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}

    • 1ad−bc=0{1\over {ad-bc}} = 0
    • 비가역행렬

역행렬의 성질

정방행렬 A, B가 가역이고, α\alpha는 0이 아닌 스칼라, kk는 0 이상의 정수일 때 아래와 같은 성질들이 성립합니다.

  1. (A−1)−1=A(A^{-1})^{-1} = A ⇒ 역수의 역수는 원래 그 수가 됨
  2. (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} ⇒ 괄호 밖의 음수 지수가 괄호 안으로 들어갈 때는 위치가 바뀌어야 함
  3. (αA)−1=1αA−1(\alpha A)^{-1} ={1\over \alpha} A^{-1} ⇒ 스칼라곱의 경우는 괄호가 그대로 풀어지면서 각각 -1 지수가 반영됨
  4. (A−1)k=(Ak)−1(A^{-1})^k = (A^k)^{-1}

실습문제

주어진 행렬 A와 B에 대하여 다음 물음에 답하시오.

A=[2111],  B=[23−1−2]A=\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},\space \space B=\begin{bmatrix}2 &3\\-1&-2\end{bmatrix}
  1. AA와 BB의 역행렬을 구하라.
A−1=[1−1−12]B−1=[23−1−2]A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & -1 \\-1 & 2 \end{bmatrix} \\B^{-1}=\begin{bmatrix}2 & 3 \\-1 & -2 \end{bmatrix}
  1. ABAB의 역행렬을 구하라.
AB=[3411](AB)−1=[−141−3]AB=\begin{bmatrix}3 & 4\\1 & 1\end{bmatrix}\\(AB)^{-1}=\begin{bmatrix}-1 & 4 \\ 1 & -3\end{bmatrix}
  1. 4A4A의 역행렬을 구하라.
14A−1=14[1−1−12]=[14−14−1412]{1\over 4}A^{-1}={1\over 4}\begin{bmatrix}1 & -1 \\ -1 & 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1\over 4} & {-1\over 4} \\ {-1\over 4} & {1\over 2}\end{bmatrix}
  1. A2A^2의 역행렬을 구하라.
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