역행렬 (Inverse Matrix) 2

도입

역행렬의 방법을 배워도 그 원리를 이해하기 어려울 수 있는데, 그래서 기본행렬을 도입하여 역행렬을 계산하는 방법의 원리를 이해해보도록 합니다.

기본행렬 (elementary matrix)

기본행렬은 단위행렬(주대각성분은 1이고 그 외에는 모두 0인 행렬)의 두 행을 교환하거나 상수배하거나 한 행의 상수배를 다른 행에 더하여 만든 행렬입니다. 실제로 아래의 단위행렬 A를 통해 기본행렬을 만들며 이해해보도록 합시다.

기본행렬 만드는 법

1. 단위행렬의 두행을 교환

   • I의 1, 2행을 교환함

   $E_1=\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}$

2. 단위행렬의 하나의 행을 상수배

   • I의 2행을 3배함

   $E_2=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&3&0\\0&0&1\end{bmatrix}$

3. 단위행열의 한 행의 상수배를 다른 행에 더함

   • I의 1번행에 -2배를 한 후, 3번 행에 더해줌

   $E_3=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-2&0&1\end{bmatrix}$

기본행렬과 행 연산

기본행렬은 어떤 성질이 있을까요?

어떤 행렬방정식이 있다고 할 때, 그 식의 양변의 앞에 기본행렬을 곱하는 것은 동치인 연립방정식을 만드는 행 연산을 하는 것과 같습니다.

아래 $Ax=b$ 라는 행렬 방정식이 있다고 할 때, 양변의 앞에 위에서 만든 기본행렬을 곱해봅니다.

1. $E_1A_x=E_1b$

   $\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}x=\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}d&e&f\\a&b&c\\g&h&i\end{bmatrix}x=\begin{bmatrix}b_2\\b_1\\b_3\end{bmatrix}$

   (양변의 1행과 2행의 자리를 바꾼 효과)

2. $E_2A_x=E_2b$

   $\begin{bmatrix}1&0&0\\0&3&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}x=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&3&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}a&b&c\\3d&3e&3f\\g&h&i\end{bmatrix}x=\begin{bmatrix}b_1\\3b_2\\b_3\end{bmatrix}$

3. $E_3A_x=E_3b$

(A의 1행에 -2배한 값을 A의 3행에 더해주는 효과)

실습문제

4x4 행렬에 대하여 다음 행 연산에 대응하는 기본행렬을 구하시오.

1. 2행과 4행을 교환하는 연산을 하는 기본행렬 구하기
   • 위의 연산을 하는 기본행렬을 구하려면 단위행렬을 구한 후에 해당 연산을 단위행렬에 대해 해주면 기본행렬이 된다.
   • 4x4 단위행렬의 2행과 4행을 교환해보자.
   • $\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}$
   • 신기하게도 이 행렬을 대상이 되는 행렬 방정식 양 변 앞쪽에 곱해주면 2행과 4행이 교환된다.
2. 2행을 -3배로 만드는 연산을 하는 기본행렬 구하기
   • 1번 문제처럼 4x4 단위행렬의 2행을 -3배 해보자.
   • $\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-3&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$
3. 1행의 3배를 4행에 더하여 4행을 교체하는 연산을 하는 기본행렬 구하기
   • 1행에 3배 하고, 4행에 더해주자
   • $\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\3&0&0&1\end{bmatrix}$

기본행렬의 역행렬

역행렬의 정의는 $AB=BA=I$ 입니다. 기본행렬은 단위행렬$I$에 어떤 연산을 해서 기본행렬을 만드는데, 이렇게 만들어진 기본행렬 앞에 어떤 행렬을 곱해서 다시 $I$가 된다면 마지막에 곱해준 것이 역행렬이 됩니다.

즉, $I$
에 어떤 연산을 해서 만들어진 기본행렬 $E_1$의 역행렬은 $I$에 반대의 연산을 해서 만들 수 있습니다.

1. $E_1=\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}$

   이 기본행렬$E_1$은 $I$의 1행과 2행을 교환하여 만들었습니다. 따라서 $E_1^{-1}$은 $I$의 1행과 2행을 거꾸로 교환해주면 됩니다. 그러나 교환이라는 것은 거꾸로가 특별히 없습니다. 결국 동일하게 교환해주게 되므로 $E_1$와 동일한 값이 됩니다. 따라서 $E_1$의 역행렬은 아래와 같습닌다.

   $E_1^{-1}=\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}$

2. $E_2=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&a\end{bmatrix}$

   이 기본행렬 $E_2$는 마지막 행을 $a$배 한 것입니다. 따라서 $a$로 나누기 위해서는 $a$의 역수배를 해주면 됩니다. 따라서 $1\over a$ 를 곱해주면 역행렬을 구할 수 있습니다.

   $E_2^{-1}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\over a\end{bmatrix}$

1. $E_3=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\a&0&1\end{bmatrix}$

   이 기본행렬 $E_3$는 $I$행렬의 1행에 $a$배 한 것을 3행에 더해준 것입니다. 따라서 역수를 위해서는 $-a$배를 하여 3항에 더해줍시다.

   $E_3^{-1}=\begin{bmatrix}1 &0&0\\0&1&0\\-a&0&1\end{bmatrix}$

기본행렬 곱에 의한 역행렬 계산

행렬 $A$를 단위행렬 $I$로 변환하기 위해서 곱해지는 일련의 기본행렬의 곱 $E_n \cdots E_2E_1$이 역행렬입니다.

$A$→$A_1$→$A_2$→$\cdots$$A_n$=$I$

• $A_1=E_1A$
• $A2=E_2A_1=E_2E_1A$
• $\cdots$
• $A_n=E_nA_{n-1}=E_n \cdots E_2E_1A=I$
• $A^{-1}=E_n \cdots E_2E_1$

행 연산에 의한 역행렬 계산

위의 $E_n \cdots E_2E_1$ 부분만 뽑아내려면 어떻게 해야 할까요?

$A$를 $[A|I]$로 써둔 다음, 기본행렬 연산을 가우스조던 소거법처럼 계속 해주다가 왼쪽이 $I$될 때 멈춘다면 우측이 $A$의 역행렬이 됩니다.