[선형대수학] 고유벡터와 고유값

• Au 는 방향성이 다름
• Av 는 동일한 라인에 해가 존재함
• 이것이 고유벡터(Eigenvector), 고유값(Eigenvalue) 의 기본 아이디어

고유벡터(Eigenvector) & 고유값(Eigenvalue)

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• Ax = λx를 만족하는 nonzero vector x가 eigenvector 임

• 또한, Ax = λx에서 x가 nontrivial solution(비자명해)이 존재할 때 scalar λ가 eigenvalue가 됨

  nontrivial solution: free variable를 갖고 있을 때 비자명해를 가지게 됨
  free variable이 없으면 unique solution을 갖고, free variable이 있으면
  infinitely many solution을 갖음

• 여기서 x를 λ에 상응하는 eigenvector라고 함

평행하면 infinitely many solution → 같은 line 상에 존재하는 것 → 고유벡터와 고유값 계산

• 행렬 u와 v가 A의 고유벡터인지 판단하는 법 :
  Ax=λx를 만족하는 확인
  u는 A의 eigenvector, -4는 A의 eigenvalue가됨
  v는 A의 eigenvector가 아님
  

• 7이 A의 고유 값인지 확인하고 그에 해당하는 고유 벡터를 찾는 문제

고유공간 (Eigenspace)

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• λ가 A의 eigenvalue이면 $(A-λI)x = 0$은 nontrivial solution을 갖음

• λ에 해당하는 A의 eigenspace는 $A-λI$ 행렬의 null space를 의미함

• eigenspace는 zero vector와 λ에 해당하는 eigenvectors 두가지를 포함함

• 행 A가 다음과 같이 주어졌을 때 λ=2에 해당하는 eigenspace를 찾고 basis를 찾는 예시

• 3차원 공간에 λ=2에 대한 eigenspace가 주어졌다고 가정함

• eigenspace는 zero vector와 eigenvectors를 포함함

• eigenspace에 존재하는 임의의 vector 4개를 선택해서 행렬 A를 곱하면 크기가 2배 씩 늘어나게 됨
  

• triangular matrix의 eigenvalues는 diagonal term임

• (1) A가 upper triangular matrix인 경우 A- λI는 아래와 같음

• 아래 방정식에서 nontrivial solution이 존재해야 함

• free variable이 존재한다는 것을 의미하므로 pivot position이 0이 되어야 함

• 따라서 λ는 a11, a22, a33이 될 수 있음

• λ의 개수는 n개 이하가 되어야 하므로 3개 이하가 되어야 함
  

• A가 lower triangular matrix인 경우

• A와 $A^T$가 동일한 eigen value를 갖고 있다는 것을 증명하면 됨

• λI가 diagonal term만 존재하므로 $(A-λI)^T=A^T-(λI)^T$ 가 성립

• A 행렬을 transpose하여도 diagonal term은 변하지 않으므로 A와 $A^T$가 동일한 eigen value를