[선형대수학] 행렬식 성질

행 연산 (Row Operation)
(a) A의 하나의 row 곱이 다른 row에 더해져 B 행렬이 만들어지면 $det B = det A$ 임
이는 row replacement를 의미함
(b) B를 만들기 위해 A의 두개의 row가 interchange 됐으면 $det B = -det A$ 임
(c) A의 하나의 row에 k가 곱해져 B가 만들어졌으면 $det B = k det A$ 임
scaling을 의미함

• 행연산을 통해 사다리꼴을 만든 후 cofactor expansion을 이용하면 det를 쉽게 구할 수 있음

• $det EA = (det E)(det A)$ 와 $det E = 1, -1, k$

• B는 A 행렬에 row reduction을 사용하여 만들어진 사다리꼴 행렬이라고 가정하면 $B=EA$로 표현
  

• 사다리꼴은 triangular matrix이므로 각각의 diagonal term을 곱하면 det를 구할 수 있음
  

• cofactor expansion을 사용해서 determinant를 계산하면 n!의 연산이 필요함

• BUT! row operation을 이용하면 $2n^3/3$의 연산이 필요하므로 25x25이상의 행렬도 빠르게 계산 가능

• $det A = 0$이 아니면 A는 invertible임 (즉, A가 not invertible이면 $det A = 0$)

• $A^T$의 det과 $detA$는 동일함

• $det AB=(detA)(detB)$