[선형대수학] 선형방정식 & 소거법

선형방정식(liner equation) 소개

---

• $a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=b$

비선형방정식 (nonlinear equation)
$4x_1-5x_2=x_1x_2$
$x_2=2$$\sqrt{x_2}-6$

• 선형 방정식 계 (A system of linear equation)
  같은 변수들을 포함한 선형방정식이 1개 또는 그 이상의 집합을 의미
  1) 오직 한개의 해 (Consistent)
  2) 무수히 많은 해 (Consistent)
  3) 해가 없다 (Inconsistent)
  

• 해의 집합 (Solution set)
  선형 시스템에서 모든 가능한 해의 집합을 의미
  

• 상등 (Equivalent)
  두 선형 시스템이 같은 solution set을 갖고 있다면 두 선형 시스템은 상등(equivalent)하다고 함
  

• 행렬 표기법 (matrix notation)
  아래의 선형방정식을 행렬로 표시하면,
  $\begin{aligned} x_1-2x_2+x_3=0\\2x_2-8=8\\5x_1-5x_3=10 \end{aligned}$

• 계수 행렬 (coefficient matrix)
  $\begin{pmatrix}1&-2&1\\0&2&-8\\5&0&-5\\ \end{pmatrix}$

• 첨가 행렬 (augmented matrix)
  $\begin{pmatrix}1&-2&1&0\\0&2&-8&8\\5&0&-5&10\\ \end{pmatrix}$

소거법(Elimination)

---

선형방정식의 n=2일 때 행관점

• Row picture : 평면들의 교차점(intersection of plans)

• 두 개의 식이 X, Y 좌표에 표시할 수 있고 두 식이 교차하는 곳에서 해(solution)이 존재함
  

선형방정식의 n=2일때 열관점

• Column picture : 열들의 결합(Combination of columns)

• 원래의 벡터 (-1,1) 과 (2,1) 에서 얼마나 늘여서 (1,5)에 도달하게 만드냐

선형방정식의 n=3일 때 행관점

선형방정식의 n=3일때 열관점

가우스 소거법

---

• 기본 행 연산(elementary row operations)

1) scaling : 0이 아닌 상수를 행에 곱할 수 있다.

2) interchange : 두 행을 교환할 수 있다.

3) replacement : 한 행을 상수배 하여 다른 행에 더할 수 있다.

• 이를 통해서 상/하삼각행렬을 만들어 해를 찾을 수 있다.