[선형대수학] 역행렬

역행렬(Invertible Matrix)이 존재하는 행렬의 조건

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• Row와 Column의 size가 동일해야함

• $AC = I$인 C 행렬이 있어야 하며 C는 유일(unique) 해야함

• C 가 $A^{−1}$ 임

• Matrix가 not invertible이면 singular matrix(해가 존재하지 않는 행렬)임

• $A^{-1}A = I$ 이며 $AA^{-1} = I$

A가 2×2 행렬일 때

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• $ad-bc !=0$ 이면 A는 invertible 하고 반대의 경우 not invertible임

• $ad-bc$는 pivot position(대각행렬의 가운데 계수들)이 2개 있을 조건을 의미하며 determinant(결정자)라고 불림
  

• A가 invertible (n x n) matrix이면 $R^n$ 공간에 있는 b에 대한 방정식 $Ax = b$는 유일한 해를 갖음

• $x=A^{-1}b$

• A의 inverse를 이용하면 쉽게 solution을 구할 수 있음
  

• $(A^{-1})^{-1}=A$ : A가 invertible matrix이면 $A^{-1}$도 invertible 임

• $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ : 순서가 뒤바뀌어 B가 먼저 나옴!

• $(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^T$ : A가 invertible이면 $A^{T}$도 invertible

기본 행렬 (Elementary Matrices)

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• 항등 행렬(identity matrix)에 단일기본행 연산(row operation)을 적용해서 얻어짐

  • E1은 replacement를 적용한 행렬
  • E1A는 A에 replacement를 적용한 것과 동일한 값이 나옴
  • E2는 interchange를 적용한 행렬
  • E3는 Scaling을 적용한 행렬, 이를 A와 곱하면A에도행 연산을 적용한 결과가 나옴

• (m x n) matrix에 elementary row operation을 수행했다는 것은 어떤 (m x m) elementary matrix가 존재한다는 의미

• A에 적용한 row operation을 m x m identity matrix에 적용하면 E가 생성 됨

• Elementary matrix E가 invertible이면 E의 inverse는 E를 I로 변환하는 elementary matrix 임