[선형대수학] 행렬식 개요

• Rank : 어떤 행렬의 column space의 demension(차원)을 의미한다
  column space의 basis vector가 몇개 존재하는 알면 그것이 dimension

• Pivot : 행렬을 row reduction을 통해 echelon form(사다리꼴)로 변환하고 pivot column을 찾음

• null space : free variable(존재하지 않는 해)의 갯수와 같음
  아래 이미지에서 free variable은 $x_3,x_5$
  

Determinant

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• 2 x 2 행렬에서의 determinant != 0이면 invertible임

• 3 x 3 이상 행렬 부터는 determinant를 구하는 것이 복잡해 짐

• determinant가 0이 아니다 = 모든 row에 pivot이 존재한다

• 고로, row reduction을 진행하고 모든 pivot이 nonzero임을 확인하면 됨
  

• 2 x 2 matrix에서 determinant는 아래와 같으므로 △을 다음과 같이 표기 할 수 있음
  

• A13은 1th row와 3th column을 제외한 요소들을 의미함
  

• 아래와 같은 A행렬의 det은 이렇게 구할 수 있음
  

여인수 (Cofactor)

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• cofactor를 이용해서 determinant를 여러가지 형태로 표현할 수 있음

• $C_{ij}=(-1)^{i+j}detA_{ij}$

• cofactor expansion을 이용하면 임의의 row와 column으로 determinant를 표현할 수 있음

• 고로, Spare 한 row나 column을 선택해서 계산하면 빠르게 계산할 수 있음
  

$detEA = (det E)(det A)$

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• E는 기본 행렬(elementary matrix)

• E1은 interchange, E2는 second row k scaling

• E3은 second row에 k scaling한 것을 first row에 더한 replacement

• E4는 first row에 k scaling 한 것을 second row에 더한 replacement를 의미
  

• 각 det은 다음과 같다
  

삼각행렬 행렬식 (Triangular matrix determinant)

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• A가 삼각 행렬이면 det A는 A의 diagonal term을 곱한것
• $detA=a_{11}a_{22}a_{33}$