시스템모델링제어 : 상태공간모델과 선형화

시스템모델링제어 Chapter2. State-Space Models & Linearization

State-Space Model

• State Variables : Dynamic System 에서 상태변수는 최대한 적은 변수로 상태를 정의하는 것이다.
• State Space Model : 1차 미분방정식들의 모임으로 표현되는 n차 linear ODE

State Space Model 예시

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$y^{[3]} + 8\ddot{y} + 9\dot{y} + 7y = u$

Define

$x_1 = y\\x_2 = \dot{y} \\ x_3 = \ddot{y}$

Initial Condition

$y(0) = y_0\\ \dot{y}(0) = \dot{y_0} \\ \ddot{y}(0) = \ddot{y_0}$

$\dot{x_1} = x_2 \\ \dot{x_2} = x_3 \\ \dot{x_3} = -8x_3 - 9x_2 - 7x_1 + u$

행렬로 변환

$\begin{bmatrix}\dot{x_1}\\ \dot{x_2} \\ \dot{x_3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ -7 & -9 & -8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0\\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} u$

x 앞의 상수 행렬은 A행렬, u앞의 상수 행렬은 B행렬

$y = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$

x앞에 붙은 행렬은 C행렬

따라서 First-Order Differential Equation 은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$\dot{x} = Ax + Bu\\y = Cx$

x(0)는 벡터 혹은 single valued 일 수 있다.

Generic nth-order ODE 는 다음과 같은 형태로 표현할 수 있다.

$\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)\\y(t) = Cx(t) + Du(t) \\ IC : x(0) = x_0$

1. y(t) : 미래 output을 예상한 것 : 추정값
2. x(t) : time = t 에서의 상태. input이 걸리는 동안의 모든 정보를 포함

→ State-Space Model 은 n차 미분방정식으로 표현 가능. n개의 서로 연결된 1차 미분방정식 집합체가 벡터로 표현 가능함.

State Space Model for RLC Circuit 예시

$LC\frac{d^2V_c}{dt^2} + RC\frac{dV_c}{dt} + V_c = V_i$

$\frac{d^2V_c}{dt^2} + \frac{R}{L}\frac{dV_c}{dt} + \frac{1}{LC}V_c = \frac{1}{LC}V_i$

$I.C = \begin{cases}V_c(0) =V_{c,0}\\\dot{V_c}(0) =\frac{i_0}{c}\end{cases}$

Define

$x_1 = V_c \\ x_2 = \dot{V_c}$

$\dot{x_1} = x_2 \\ \dot{x_2} = \ddot{V_c} = -\frac{R}{L}x_2 - \frac{1}{LC}x_1 + \frac{1}{LC}V_i$

$\therefore \dot{x} = \begin{bmatrix}\dot{x_1}\\ \dot{x_2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 1\\ -\frac{1}{LC} & -\frac{R}{L}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0\\ \frac{1}{LC}\end{bmatrix}V_i\\y = \begin{bmatrix}1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix}$

Nonlinear Mathematical Models

선형 ODE 모델로 만들 수 있는 비선형 모델을 배움. 대부분의 모델은 비선형 term을 가지고 있고, linearizing 또는 trimming 하여 단순화함.

single input을 가지는 n차 미분방정식의 state-space 모델을 다음과 같이 표현한다.

$\dot{x} = f(x, u)\\y = h(x, u) \\ (i.c) \ \ \ \ x(0) = x_0$

Equilibrium Points

모든 상태 변수에 대하여 변화량이 없는 평형상태를 “Equilibrium Point”라고 한다.

$f(\bar{x}, \bar{u}) = 0$

1. $x(0) = \bar{x}$ : system initialization
2. $u(t) = \bar{u} \ \ \ \ \ \ \ \forall t≥0$

이때 solution x(t)는 다음을 만족하며 $\bar{x}$상태를 유지한다.

$x(t) = \bar{x}\ \ \ \ \ \ \ \forall t≥0$

Linearization

Non-linear System이 Equilibrium Point에 근접하게 작동한다면 선형 미분 방정식으로 예측이 가능하다! 이 과정에서 Jacobian Linearization 이 필요함.

Taylor Series Expansion

함수 f가 R→R 일 때, $\bar{x}$에 대하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

$f(x) \approx f(\bar{x}) + \frac{df}{dx}(\bar{x})\cdot(x-\bar{x}) + Higher Order Tems$

상태변수가 1개인 비선형 시스템은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$\dot{x} = f(x, u)$ (*1)

Assumption $(\bar{x}, \bar{u})$ 는 equilibrium point 이다 : $f(\bar{x}, \bar{u}) = 0$

• 이 시스템이 $x(0) = \bar{x}$ 에서 시작하고
• input $u(t) = \bar{u} \ \ \ \ \ \ \forall$ $t≥0$ $\cdots$ (input이 바뀌지 X)
• (*1)의 솔루션은 $x(t) = \bar{x} \ \ \ \ \ \forall t≥0$ 이다 $\cdots$ (초기조건에 머묾)

Question 만약 $x(0)$이 $\bar{x}$ 에 근접하게 접근하고, 입력 $u(t)$가 $\bar{u}$에 근접하게 접근한다면?

sol1) (*1)을 그냥 풂 → 비선형 시스템이라 복잡함ㅠㅠ

sol2) 선형미분방정식을 유도한다! → 비선형 미분방정식 (*1)의 근사치를 제공함!!!

Conclusion

$(\bar{x}, \bar{u})$ 에 근접한 어떤 점에서 다변수(multi-variabl) 테일러급수를 통해 비선형함수의 근사치를 계산할 수 있다.

$f(x, u) \approx f(\bar{x}, \bar{u}) + \frac{df}{dx}(\bar{x})\cdot(x-\bar{x})+\frac{df}{du}(\bar{u})\cdot(u-\bar{u})$

(뒤의 Higher Order Terms들은 복잡하므로 다 날림. 그럼에도 불구하고 근사치를 계산할 수 있다)

이 때, $(\bar{x}, \bar{u})$ 는 Equilibrium point 이므로 $f(\bar{x}, \bar{u})$=0이다.

$\therefore f(x, u) = \frac{df}{dx}(\bar{x})\cdot(x-\bar{x})+\frac{df}{du}(\bar{u})\cdot(u-\bar{u})$

$\therefore \dot{x} = [\frac{df}{dx}(\bar{x}, \bar{u})]\cdot(x-\bar{x})+[\frac{df}{du}(\bar{x}, \bar{u})]\cdot(u-\bar{u})$ (*2)

따라서 (*)식을 다음과 같이 단순화시킬 수 있다.

$A = \frac{df}{dx}(\bar{x}, \bar{u}) \\ B = \frac{df}{du}(\bar{x}, \bar{u})$

$\delta_{x}(t) = x(t) - \bar{x} \\ \delta_{u}(t) = u(t) - \bar{u}$

$\frac{d}{dt}(\delta_{x}(t)) = \dot{\delta}_{x}(t) = \frac{d}{dt}(x(t)-\bar{x})= \dot{x}(t) \ \ \ \ \cdots$ (*2) 에서 확장!

$\dot{\delta}_{x}(t) = \dot{x}(t) = A\delta_x(t) + B\delta_u(t)$ (*3)

→ Linear State-Space Model : 선형 상태공간 모델

3은 비선형 방정식 (1)을 근사 예측할 수 있게 한다. 단, $(\bar{x}, \bar{u})$에 근접해야한다는 조건이 있음

x(t)는 x(0)에서 시작되고 input(u)를 가지는 비선형모델 (*1)의 솔루션이다.

$\delta_{x}(t)$는 $\delta_{x}(0) = x(0) - \bar{x}$에서 시작하고 input $\delta_{u}(t) = u(t)-\bar{u}$를 가지는 선형모델인 (*3)의 솔루션이다.

Linear Solution은 Non-Linear Solution을 근사화해준다. 단, Equilibrium point 의 작은 오차범위에서 유효하다.
$x(t) \approx \bar{x} + \delta_x(t)$

Generalization

n-state System일 때 Linear State Model을 얻기 위해 일반화함!

output equation을 다음과 같이 쓸 때 output 또한 linearization 가능함.

$\dot{x} = f(x, u) \\ y = h(x, u)$

$\bar{y} = h(\bar{x}, \bar{u})$ 일때 $\delta_y(t) = y(t)-\bar{y}$ 이라고 하면, equilibrium output은 다음과 같이 근사화된다.

$\delta_y(t) \approx [\bigtriangledown_xh(\bar{x}, \bar{u})]\delta_x(t) + [\bigtriangledown_uh(\bar{x}, \bar{u})]\delta_u(t)$

$C = [\bigtriangledown_xh(\bar{x}, \bar{u})] \\ D = [\bigtriangledown_uh(\bar{x}, \bar{u})]$

$\therefore \dot{\delta}_{x}(t) = A\delta_x(t) + B\delta_u(t) \\ \ \ \ \ \delta_{y}(t) = C\delta_x(t) + D\delta_u(t$)

Transfer Function

n차 선형미분방정식을 Laplace Transform 을 이용하여 표현할 수 있다.

전달함수 G(s)는 선형미분방정식과 관련된 전달함수이며 미분방정식을 다르게 표현한 것이다.

예시) $6\ddot{y} + 9\dot{y} + 2y = 4\dot{u} + 8u$

$G(s) = \frac{4s + 8}{6s^2 + 9s + 2}$

Summary

Nonlinear ODE —(Jacobian : Linearization) —> Linear ODE —(Laplace Transform) —> Transfer Function

• Nonlinear ODE 는 Equilibrium Point 에 근접할 때 선형미분방정식으로 근사치를 예상할 수 있다.