[선형대수학] 벡터공간

한결·2023년 12월 29일

넘파이 선형대수학 파이썬

수학 정리 노트

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❗모든 코드의 앞에는 import numpy as np를 썼다고 가정하겠습니다.

글 내용 순서는 '프리드버그 선형대수학[5판]'을 참고했습니다.

벡터

머신러닝에서 벡터는 중요한 개념이다. 벡터는 숫자의 배열로, 데이터를 나타내는 데 사용된다. 다차원 공간에서의 위치나 방향을 나타내는데 유용하며, 머신러닝에서 데이터를 표현하고 처리하는 데 다양한 방식으로 활용된다. 예를 들어, 이미지의 경우 픽셀 값의 배열이 특성 벡터가 될 수 있고, 자연어 처리에서는 단어의 임베딩 벡터가 특성 벡터가 될 수 있다. 또한 모델에서 학습되는 매개변수로도 사용된다. 모델은 입력 벡터와 가중치를 곱하고 편향을 더하여 예측을 수행할 때 쓰인다.
이와 같이, 벡터는 머신러닝에서 데이터를 표현하고 분석하는 데 핵심적인 역할을 한다. 데이터의 형태나 모델링 기법에 따라 다양하게 활용된다.

🔔벡터공간(vector space)

우선 벡터의 대수적 구조를 설명하기 위해 벡터공간을 정의하겠다.

체 $F$ 에서의 벡터공간 V는
1. 덧셈의 교환법칙이 성립한다.
모든 $x,y\in$ V에 대해 $x+y=y+x$
2. 덧셈의 결합법칙이 성립한다.
모든 $x,y,z\in$ V에 대해 $(x+y)+z=x+(y+z)$
3. 덧셈의 항등원 존재
모든 $x\in$ V에 대하여 $x+0=x$ 인 $0\in$ V이 존재
4. 덧셈의 역원 존재
각 $x\in$ V에 대하여 $x+y=0$ 인 $y\in$ V이 존재
5. 각 $x\in$ V에 대하여 $1x = x$ 이다.
6. 모든 $a,b\in F$ 와 모든 $x\in$ V에 대하여 $(ab)x=a(bx)$ 이다.
7. 모든 $a\in F$ 와 모든 $x,y\in$ V에 대하여 $a(x+y)=ax+ay$ 이다.
8. 모든 $a,b\in F$ 와 모든 $x\in$ V에 대하여 $(a+b)x=ax+bx$ 이다.

체 $F$ 에서 성분을 가져온 모든 $n$ 순서쌍의 집합을 $F^n$ 이라 표기할 때
$R^3$ 은 벡터공간 정의에 만족하기 때문에 합의 교환법칙이나 스칼라 곱끼리 같아야 한다.

부분공간(subspace)

$F$ -벡터공간 V의 부분집합 W가

모든 $x\in$ W, $y\in$ W에 대하여 $x+y\in$ W, 즉 덧셈에 닫혀있고

모든 $c\in F$ 와 모든 $x\in$ W에 대하여 $cx\in$ W, 즉 스칼라 곱에 닫혀있고

$0\in$ W

W에 속한 모든 벡터의 덧셈에 대한 역벡터는 W의 원소이면

W는 V의 부분공간이라 정의한다.

일차결합 (linear combination)

벡터공간 V의 공집합이 아닌 부분집합 $S$ 가 있다. 유한개의 벡터 ${u_1},{u_2},...,{u_n}\in S$ 와 스칼라 ${a_1},{a_2},...,{a_n}$ 에 대하여 다음을 만족하는 벡터 $v\in V$ 는 $S$ 의 일차결합이라 한다.

$v={a_1}{u_1}+{a_2}{u_2}...+{a_n}{u_n}$

이때, $v$ 는 벡터 ${u_1},{u_2},...,{u_n}$ 의 일차결합이고, ${a_1},{a_2},...,{a_n}$ 은 이 일차결합의 계수이다.

🔔생성공간(span)

벡터공간 V의 공집합이 아닌 부분집합 $S$ 를 생각하자. $S$ 의 생성공간은 $S$ 의 벡터를 사용하여 만든 모든 일차결합의 집합이며 $span(S)$ 라 표기한다. 이때, $span(\empty)=\{0\}$ 이다.

벡터공간 V의 부분집합 $S$ 에 대하여 $span(S)=$ V이면 ' $S$ 는 V를 생성한다'라고 표현한다.

일차독립

일차종속 (linearly dependent)

벡터공간 V의 부분집합 $S$ 에 대하여 ${a_1}{u_1}+{a_2}{u_2}...+{a_n}{u_n}=0$ 을 만족하는 유한개의 서로 다른 벡터 $u_1,u_2,...,u_n\in S$ 와 적어도 하나는 $0$ 이 아닌 스칼라 ${a_1},{a_2},...,{a_n}$ 이 존재하면 집합 $S$ 는 일차종속이다. $S$ 의 벡터 또한 일차종속이다.