2.1 systems of Linear Equations
다항식을 벡터로 표현하기
4x1+4x2=52x1−4x2=1↓
[42]x1+[4−4]x2=[51]↓
[424−4][x1x2]=[51]
2.2 Matrices
matrix A(mn)는 m개의 row와 n개의 column을 가지고 있다.
2.2.1 matrix addition and multiplication
def) Identity Matirx
In=⎣⎢⎢⎢⎡1000...1...00.........0::1⎦⎥⎥⎥⎤
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2.2.2 Inverse and Transpose
inverse)
AB=In 일때, B=A−1이고,
A−1를 A의 inverse matrix라고 한다.
-
inverser matrix가 존재한다면, A는 regular, invertible, nonsingular 하다고 한다.
-
A−1은 unique하다.
역행렬은 [A∣In] → [In∣A−1] 의 과정으로 구할 수 있다.
Transpose)
A,B∈Rmn 일때, bij=aji이면, B=AT
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Symmetric Matirx)
A=AT인 행렬
- A가 invertible하면 AT도 invertible하다.
2.2.3 Multiplication by a scalar
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2.3 Solving Systems of Linear Equations
2.3.1 Particular and General Solution
particular solution은 해가 여려 개일 경우, 특정한 하나의 해를 뜻한다.
해가 여려개인 경우 General Soultion을 찾는 방법은 다음과 같다.
- Ax=b particular solution 찾기
- Ax=0 particular solution 찾기
- 두 해를 합쳐서 표현 → General Solution
2.3.2 Elementary Tansfomations
- exchange two equations(rows)
- multiplicate an equation(rows) with constant λ
- add two equations(rows)
위의 세가지 변환으로 row-echelon form(REF)형태로 만들 수 있다.
pivot: REF의 row에서 0이 아닌 첫번째 값
reduced row echelon form: pivot은 모두 1이고, pivot외의 칼럼은 0인 REF
-> reduced row echelon form을 만듦으로 General Solution을 손쉽게 구할 수 있다.
2.3.3 The Minus-1 Trick
m x n(m<n) 행렬에서 비어있는 행의 pivot만 -1인 행을 곱해 n x n 의 정방행렬로 만들어서 Ax=0 해를 더욱 쉽게 찾을 수 있다.
2.3.4 Algorithms to solve
Ax=b↔(ATA)−1ATb
but, 계산이 너무 복잡함.
Gaussian elimination을 통해 해결할 수 있으나, 변수가 많아지면 이것도 계산하기 힘들어짐.
-> Richardson method, Ja- cobi method, the Gauß-Seidel method, successive over-relaxation method, Krylov subspace methods, conjugate gradients, gener- alized minimal residual, biconjugate gradients등의 방법들은 아래의 식을 통해 간접적으로 해결가능
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2.4 Vector Spaces
{V,+,∙} 가 정의되는 공간 정의
2.5 Linear Independence
Linear Combination: 벡터공간 V에 속해있는 벡터 v는 V에 속해있는 다른 벡터 x1,x2,...,xk들의 상수(λ)배로 나타낼 수 있다.
Linear dependence: λkxk (λ=0) 의합으로 0을 만들어 낼 수 없다면, 벡터 x1,x2,...,xk 들은 서로 linarly independent 하다고 할 수 있다.
2.6 Basis and Rank
2.6.1 Basis
basis: 벡터공간 V를 생성하는 선형독립의 최소단위의 벡터 집합
basis 의 집합을 β라고 하자.
- β가 벡터공간 V에 속할 때 β에는 더이상의 선형독립 벡터는 존재하지 않는다.
- x∈V인 벡터 x들은 β의 선형결합으로 나타낼 수 있다.
basis 결정하는법
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pivot 이 있는 열에 해당하는 벡터가 기저이다.
2.6.2 Rank
rank:
한 행렬에서 linear independent 한 column의 수
= 한 행렬에서 linear independent 한 row의 수
= rk(A)
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