문제
1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신을 제외한 약수가 없는 자연수를 소수라고 한다. 예를 들어, 5는 1과 5를 제외한 약수가 없기 때문에 소수이다. 하지만, 6은 6 = 2 × 3 이기 때문에 소수가 아니다.
골드바흐의 추측은 유명한 정수론의 미해결 문제로, 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 것이다. 이러한 수를 골드바흐 수라고 한다. 또, 짝수를 두 소수의 합으로 나타내는 표현을 그 수의 골드바흐 파티션이라고 한다. 예를 들면, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, 14 = 3 + 11, 14 = 7 + 7이다. 10000보다 작거나 같은 모든 짝수 n에 대한 골드바흐 파티션은 존재한다.
2보다 큰 짝수 n이 주어졌을 때, n의 골드바흐 파티션을 출력하는 프로그램을 작성하시오. 만약 가능한 n의 골드바흐 파티션이 여러 가지인 경우에는 두 소수의 차이가 가장 작은 것을 출력한다.
입력
첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다. 각 테스트 케이스는 한 줄로 이루어져 있고 짝수 n이 주어진다.
출력
각 테스트 케이스에 대해서 주어진 n의 골드바흐 파티션을 출력한다. 출력하는 소수는 작은 것부터 먼저 출력하며, 공백으로 구분한다.
풀이
우선 2가지 생각을 했다.
- 소수 판별은 어떻게 할것인가
- 차이가 가장 작은 두 소수를 어떻게 찾는가
소수 판별은 특정 수 n을 받으면 n을 2부터 n-1까지 나눠가며 나누어 떨어진다면 False를 반환. 끝까지 간다면 True를 반환.
1은 미리 False로 처리하자.
def is_prime_num(n):
if n == 1:
return False
for i in range(2, n):
if n % i == 0:
return False
return True위의 코드를 작성하고나서 생각이 들었다.
예를 들어 16이라는 수가 있으면
1 X 16
2 X 8
4 X 4
약수는 쌍을 이루고 있으니 제곱근 까지만 검사해도 되겠다.
def is_prime_num(n):
if n == 1:
return False
for i in range(2, int(n**0.5) + 1):
if n % i == 0:
return False
return True이제 소수 판별은 끝났으니 차이가 가장 작은 두 소수를 찾을 차례이다.
수를 절반으로 나누고 소수가 아니라면 둘 중 하나라도 소수가 아니라면 한쪽은 -1 다른 한쪽은 +1 시켜가며 검사하자.
- 둘 중 하나라도 소수가 아니라면 한칸씩 이동
- 둘 다 소수라면 출력
for _ in range(int(input()):
target_num = int(input())
a = target_num // 2
b = target_num // 2
while a > 1:
if is_prime_num(a) and is_prime_num(b):
print(a, b)
break
a -= 1
b += 1전체코드 1
def is_prime_num(n):
if n == 1:
return False
for i in range(2, int(n**0.5) + 1):
if n % i == 0:
return False
return True
for _ in range(int(input()):
target_num = int(input())
a = target_num // 2
b = target_num // 2
while a > 1:
if is_prime_num(a) and is_prime_num(b):
print(a, b)
break
a -= 1
b += 1하고나서 시간을 더 단축시킬수는 없을까 하고 찾아본게 '에라토스테네스의 체' 라는 것이다.
원리는 다음과 같다
- 검사를 원하는 범위만큼의 리스트를 만들고 인덱스를 값으로 초기화.
- 2 ~ n까지 해당 수의 배수 인덱스를 가진 값을 0으로 변경하되 자기자신은 생략.
- [0], [1] 값을 제외한 나머지에서 0이 아닌 값이 들어 있으면 해당 인덱스는 소수.
필자는 입력받은 수 중 가장 큰 값을 크기로 갖는 리스트를 선언했다.
전체코드 2
def prime_num_sieve(lst, max_num):
# 2부터 모든 수를 반복
for i in range(2, max_num + 1):
# 이미 0이라면 생략
if lst[i] == 0: continue
# 해당수의 배수를 전부 0으로 만든다
for j in range(2*i, max_num+1, i):
lst[j] = 0
def find_prime_pair(lst, num):
a, b = num // 2, num // 2
# 만들어둔 체에서 해당 인덱스가 소수인지 판별
while a > 1:
if lst[a] != 0 and lst[b] != 0:
print(lst[a], lst[b])
break
a -= 1
b += 1
num_lst = []
max_input = 0
for _ in range(int(input())):
tmp = int(input())
num_lst.append(tmp)
if tmp > max_input: max_input = tmp
# 입력받은 수 중 가장 큰수의 크기를 가짐
prime_num_lst = [i for i in range(max_input + 1)]
# 에라토스테네스의 체 만들기
prime_num_sieve(prime_num_lst, max_input)
for num in num_lst:
find_prime_pair(prime_num_lst, num)전체코드 1 -> 624ms
전체코드 2 -> 252ms
