[기초수학] Chapter01. 기초수학(등차수열, 등비수열, 계차수열, 피보나치수열, 팩토리얼, 군수열, 순열, 조합)

황성미·2023년 7월 18일
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✍🏻 17일 공부이야기.




등차수열

  • 등차수열 : 차이가 같은 수들의 나열
    sn=n(a1+an)/2s_n = n(a_1 + a_n) / 2

n번째 항까지의 합을 출력하는 프로그램을 완성해라

inputa1 = int(input('a1 입력 : '))
inputD = int(input('공차 입력 : '))
inputN = int(input("n 입력 : "))

valueN = 0 #n번쨰 항의 값
sumN = 0 #n번쨰 항까지의 합
n = 1

print("처음부터 끝까지 수열들을 더하는 방법")
while n <= inputN: #n번째 항까지
  if n == 1: #n이 1일 때는
    valueN = inputa1
    sumN += valueN #a1을 sumN에 더해주고
    print(f'{n}번째 항까지의 합 : {sumN}')
    n += 1
    continue
  #2번째 항부터 n번째 항까지는  
  valueN += inputD #공차를 더한 값들을
  sumN += valueN #계속 더해줌
  print(f"{n}번째 항까지의 합 : {sumN}")
  n += 1
print(f"{inputN}번째 항까지의 합 : {sumN}")


#등차수열 합 공식 : sn = n(a1 + an) / 2
print("등차수열 합 공식을 이용한 방법")
valueN = inputa1 + (inputN - 1)*inputD
sumN = inputN * (inputa1 + valueN) / 2
print(f"{inputN}번째 항까지의 합 : {int(sumN)}")

💻 출력
a1 입력 : 5
공차 입력 : 4
n 입력 : 5
처음부터 끝까지 수열들을 더하는 방법
1번째 항까지의 합 : 5
2번째 항까지의 합 : 14
3번째 항까지의 합 : 27
4번째 항까지의 합 : 44
5번째 항까지의 합 : 65
5번째 항까지의 합 : 65
등차수열 합 공식을 이용한 방법
5번째 항까지의 합 : 65


등비수열

  • 등비수열 : 연속된 두 항의 비가 일정한 수열
    an=a1∗rn−1a_n = a_1 * r^{n-1}
    sn=a1∗(1−(rn))/(1−r)s_n = a_1 * (1 - (r^n)) / (1 - r)

  • 등비중항 : 연속된 세 항에서의 가운데 항

n번째 항의 값을 출력하는 프로그램을 완성해라

inputa1 = int(input('a1 입력 : '))
inputR = int(input('공비 입력 : '))
inputN = int(input("n 입력 : "))

an = 0
n = 1
while n <= inputN:
  if n == 1:
    an = inputa1
    print(f'{n}번째 항의 값 : {an}')
    n += 1
    continue
  an *= inputR
  print(f'{n}번째 항의 값 : {an}')
  n += 1
print(f'{inputN}번째 항의 값 : {an}')

##an = a1 * r^(n-1)을 이용하는 방법
#an = inputa1 * (inputR ** (inputN -1))

💻 출력
a1 입력 : 2
공비 입력 : 2
n 입력 : 7
1번째 항의 값 : 2
2번째 항의 값 : 4
3번째 항의 값 : 8
4번째 항의 값 : 16
5번째 항의 값 : 32
6번째 항의 값 : 64
7번째 항의 값 : 128
7번째 항의 값 : 128

n번째 항까지의 합을 출력하는 프로그램을 완성해라

inputa1 = int(input('a1 입력 : '))
inputR = int(input('공비 입력 : '))
inputN = int(input("n 입력 : "))

valueN = 0
sumN = 0
n = 1

print("처음부터 끝까지 수열들을 더하는 방법")
while n <= inputN:
  if n == 1:
    valueN = inputa1
    sumN += valueN
    print(f'{n}번째 항까지의 합 : {sumN}')
    n += 1
    continue
  valueN *= inputR
  sumN += valueN
  print(f"{n}번째 항까지의 합 : {sumN}")
  n += 1
print(f"{inputN}번째 항까지의 합 : {sumN}")


#등비수열 합 공식 : sn = a1 * (1 - (r^n)) / (1 - r)
print("등비수열 합 공식을 이용한 방법")
sumN = inputa1 * (1 - (inputR ** inputN)) / (1 - inputR)
print(f"{inputN}번째 항까지의 합 : {int(sumN)}")

💻 출력
a1 입력 : 5
공비 입력 : 3
n 입력 : 7
처음부터 끝까지 수열들을 더하는 방법
1번째 항까지의 합 : 5
2번째 항까지의 합 : 20
3번째 항까지의 합 : 65
4번째 항까지의 합 : 200
5번째 항까지의 합 : 605
6번째 항까지의 합 : 1820
7번째 항까지의 합 : 5465
7번째 항까지의 합 : 5465
등비수열 합 공식을 이용한 방법
7번째 항까지의 합 : 5465


계차수열

  • 계차수열 : 어떤 수열의 인접하는 두 항의 차로 이루어진 또 다른 수열
    ana_n = {0 , 3 , 8 , 15 , 24 , 35 , 48 ...}
    bnb_n = {3 , 5 , 7 , 9 , 13 , 15 ...}
    👀 {bnb_n}은 {ana_n}의 계차수열이다.
    이때,
    ∑n=1n−1bn=an−a1\displaystyle\sum_{n=1}^{n-1}{b_n} = a_n - a_1성질과 - (1)
    bnb_n 은 공차가 2인 등차수열이므로 기존 등차수열 공식인
    bn=b1+(n−1)∗db_n = b_1 + (n - 1) * d 를 통해 구한 bnb_n의 일반식을
    sn−1=n(b1+bn−1)/2s_{n-1} = n(b_1 + b_{n-1}) / 2 에 대입하여 구한 값이랑 같다고 두고 -(2)
    ana_n 을 구하면 아래와 같이 일반식을 구할 수 있다.
    bnb_n 의 b1=3,d=2b_1 = 3 , d = 2이므로 bn=2n+1b_n = 2n + 1 이다.
    (1)과 (2)를 이용하여
    sn−1=(n−1)(3+(2(n−1)+1))/2=an−0\begin{aligned} s_{n-1} = (n - 1)(3 + (2(n-1) + 1)) / 2 = a_n - 0 \end{aligned}
    an=n2−1a_n = n^2 -1
    라고 {ana_n}을 구할 수 있다.

파이썬으로 구해보면 아래와 같다. 

# an = {3, 7, 13, 21, 31, 43, 57}
# bn =   4, 6,  8, 10, 12,  14

inputAN1 = int(input("a1 입력 : "))
inputAN = int(input("n 입력 : "))

inputBN1 = int(input("b1 입력 : "))
inputBD = int(input("bn 공차 입력 : "))

valueAN = 0
valueBN = 0

n = 1
while n <= inputAN:
  if n == 1:
    valueAN = inputAN1
    valueBN = inputBN1
    print(f'an의 {n}번째 항의 값 : {valueAN}')
    print(f'bn의 {n}번째 항의 값 : {valueBN}')
    n += 1
    continue
  valueAN += valueBN
  valueBN += inputBD
  print(f'an의 {n}번째 항의 값 : {valueAN}')
  print(f'bn의 {n}번째 항의 값 : {valueBN}')
  n += 1

print(f'an의 {inputAN}번째 항의 값 : {valueAN}')
print(f'bn의 {inputAN}번째 항의 값 : {valueBN}')

💻 출력
a1 입력 : 3
n 입력 : 7
b1 입력 : 4
bn 공차 입력 : 2
an의 1번째 항의 값 : 3
bn의 1번째 항의 값 : 4
an의 2번째 항의 값 : 7
bn의 2번째 항의 값 : 6
an의 3번째 항의 값 : 13
bn의 3번째 항의 값 : 8
an의 4번째 항의 값 : 21
bn의 4번째 항의 값 : 10
an의 5번째 항의 값 : 31
bn의 5번째 항의 값 : 12
an의 6번째 항의 값 : 43
bn의 6번째 항의 값 : 14
an의 7번째 항의 값 : 57
bn의 7번째 항의 값 : 16
an의 7번째 항의 값 : 57
bn의 7번째 항의 값 : 16

물론, 이 문제 또한 위에서 구한 것과 같이 일반항을 구해서 수식을 입력해줘도 구할 수 있다 :)


피보나치 수열

  • 피보나치 수열 : 세 번째 항이 두 번째 항과 첫 번째 항을 더한 합인 수열 an=an−2+an−1a_n = a_{n-2} + a_{n-1}
    (단, 첫째항과 둘째항은 모두 1이다)
    {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...}

피보나치 수를 계산하는 프로그램을 완성해라.

inputN = int(input('n 입력 : '))
valueN = 0 #n번째 항의 값
sumN = 0 #n번째 항까지의 합

valuePreN2 = 0
valuePreN1 = 0

n = 1
while n <= inputN:
  if n == 1 or n == 2: #첫번째 항과 두번째 항은 값이 1임
    valueN = 1
    valuePreN2 = valueN
    valuePreN1 = valueN
    sumN += valueN
    print(f'{n}번째 항의 값 : {valueN}')
    n += 1
    
  else:
    valueN = valuePreN2 + valuePreN1 #피보나치수열 특징
    valuePreN2 = valuePreN1
    valuePreN1 = valueN
    sumN += valueN
    print(f'{n}번째 항의 값 : {valueN}')
    n += 1

print(f'{inputN}번째 항의 값 : {valueN}')
print(f'{inputN}번째 항까지의 합 : {sumN}')

💻 출력
n 입력 : 5
1번째 항의 값 : 1
2번째 항의 값 : 1
3번째 항의 값 : 2
4번째 항의 값 : 3
5번째 항의 값 : 5
5번째 항의 값 : 5
5번째 항까지의 합 : 12


팩토리얼

  • 팩토리얼 : 1부터 양의 정수 n까지의 정수를 모두 곱한 것
inputN = int(input("n 입력 : "))

#반복문을 이용하는 방법(for문, while문)
result = 1
for n in range(1, inputN + 1):
  result *= n
print("for문을 이용하는 방법")
print(f'{inputN} 팩토리얼 : {result}')

result = 1
n = 1
while n <= inputN:
  result *= n
  n += 1
print("while문을 이용하는 방법")
print(f'{inputN} 팩토리얼 : {result}') 

#재귀함수를 이용하는 방법
def factorial(n):
  if n == 1:
    return 1
  return n * factorial(n-1)
print("재귀함수를 이용하는 방법")
print(f'{inputN} 팩토리얼 : {factorial(inputN)}')

##math 모듈을 사용하는 방법
#import math
#math.factorial(inputN)

💻 출력
n 입력 : 5
for문을 이용하는 방법
5 팩토리얼 : 120
while문을 이용하는 방법
5 팩토리얼 : 120
재귀함수를 이용하는 방법
5 팩토리얼 : 120


군수열

  • 군수열 : 여러 개의 항을 묶었을 때 규칙성을 가지는 수열
    1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, ...
    (1), (1, 2), (1, 2, 3), (1, 2, 3, 4), ...
    각 군에 해당하는 항의 개수가 1개, 2개, 3개, 4개, .. 형태로 늘어난다!

다음 수열 {1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, ...}의 n번째 항의 값을 출력하는 프로그램을 완성해라.

#1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, ...

inputN = int(input('n 입력 : '))

flag = True
n = 1
nCnt = 1 #n번째 항
searchN = 0 #n번째 항의 값

while flag:
  for i in range(1, n+1): #군
    print(f'{i} ', end = '')
    nCnt += 1
    
    if nCnt > inputN: #사용자가 원하는 n번째 항의 순서가 왔다면
      searchN = i #n번째 항의 값은 i가 된다.
      flag = False
      break
  print() #군이 바뀌면 줄바꿈을 해준다
  n += 1

print(f'{inputN}항 : {searchN}')

💻 출력
n 입력 : 17
1
1 2
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4 5
1 2
17항 : 2

다음 수열 {1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, ...}의 n번째 항의 값을 출력하는 프로그램을 완성해라.

inputN = int(input('n 입력 : '))

flag = True
n = 1
nCnt = 1
searchNC = 0 #분자
searchNP = 0 #분모


while flag:
  for i in range(1, n+1):
    print(f'{i}/{(n - i + 1)} ',end = '')
    nCnt += 1
    if nCnt > inputN:
      searchNC = i
      searchNP = n - i + 1
      flag = False
      break
  print()
  n += 1
print(f"{inputN}항 : {searchNC}/{searchNP} ")

💻 출력
n 입력 : 9
1/1
1/2 2/1
1/3 2/2 3/1
1/4 2/3 3/2
9항 : 3/2


순열

  • 순열 : n개의 숫자들 중 순서를 고려하여 r개를 택하는 경우의 수
    n(n-1)(n-2)...(n-r+1) 단 0 < r <= n 으로 나타낼 수 있는데
    팩토리얼을 이용하면 n!(n−r)!n! \over (n-r)! 로 나타낼 수도 있다.
    이를 파이썬으로 코딩해보면 아래와 같다.
numN = int(input('numN 입력 : '))
numR = int(input('numR 입력 : '))
result = 1

#n(n-1)(n-2)...(n-r+1)을 이용한 방법
for n in range(numN, numN-numR, -1):
  print(f'n : {n}')
  result *= n
print(f'result = {result}')

#n! / (n-r)!를 이용한 방법
import math
print(f'result with factorial : {math.factorial(numN) / math.factorial(numN - numR)}')

💻 출력
numN 입력 : 7
numR 입력 : 5
n : 7
n : 6
n : 5
n : 4
n : 3
result = 2520
result with factorial : 2520.0


원순열

  • 원순열 : 시작과 끝의 구분이 없는 순열로서, (n-1)!로 계산됨.
n = int(input('n 입력 : '))
result = 1

for i in range(1, n):
  result *= i
print(f'result : {result}')

💻 출력
n 입력 : 4
result : 6


조합

  • 조합 : n개의 숫자들 중 순서를 고려하지 않고 r개를 택하는 경우의 수

    위 공식을 파이썬을 이용해 나타내면 아래와 같다. 
numN = int(input("numN 입력 : "))
numR = int(input("numR 입력 : "))

resultP = 1
resultR = 1
resultC = 1

for n in range(numN, numN-numR, -1): #분자
  print(f'n1 : {n}')
  resultP *= n
print(f'resultP = {resultP}')

for n in range(numR, 0, -1): #분모
  print(f'n2 : {n}')
  resultR *= n
print(f'resultR = {resultR}')

resultC = int(resultP / resultR)
print(f'resultC = {resultC}')

💻 출력
numN 입력 : 8
numR 입력 : 3
n1 : 8
n1 : 7
n1 : 6
resultP = 336
n2 : 3
n2 : 2
n2 : 1
resultR = 6
resultC = 56


확률

  • 확률 : 모든 사건에서 특정 사건이 일어날 수 있는 경우의 수 (특정 사건이 일어날 경우의 수 / 모든 사건의 경우의 수)






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4개의 댓글

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이태균
2023년 7월 18일

너무 좋은 글이네요. 공유해주셔서 감사합니다.

1개의 답글
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happy
2023년 7월 18일

항상 좋은 글 감사합니다.

1개의 답글