🧭 주제

SRT 변환 행렬 완전 정복 – 스케일(Scale), 회전(Rotation), 이동(Translation)을 하나의 행렬로 통합하고, 적용 순서까지 완벽히 이해하기

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📚 개념

SRT는 3D 그래픽스에서 객체를 조작하는 가장 기본적이고 핵심적인 세 가지 변환 요소이다.

• S (Scale): 객체의 크기를 조절한다.
• R (Rotation): 객체를 회전시킨다.
• T (Translation): 객체의 위치를 이동시킨다.

이 세 가지 변환은 각각의 4×4 행렬로 구성되며, 이를 순차적으로 곱함으로써 하나의 복합 변환 행렬을 생성할 수 있다. 이 복합 행렬을 벡터에 곱함으로써 단 하나의 연산만으로 다중 변환을 동시에 적용할 수 있다.

이러한 변환들은 단지 시각적 위치 조정 이상의 의미를 가지며, 실제 게임에서는 플레이어, NPC, 오브젝트의 움직임과 연출을 자연스럽게 표현하는 데 필수적으로 사용된다.

특히 적용 순서(S→R→T)는 결과에 직접적인 영향을 주는 매우 중요한 요소이며, 이를 이해하고 정확히 구현해야 원하는 결과를 얻을 수 있다.

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🧾 용어 정리

• 행렬(Matrix, M): 변환을 수학적으로 표현한 2차원 배열 구조, 일반적으로 4×4 크기를 사용한다.
• 벡터(Vector, v): 한 점의 위치 또는 방향을 나타내는 배열. 동차 좌표계에서는 [x y z 1] 형식으로 표현한다.
• 동차 좌표계(Homogeneous Coordinates): [x y z 1] 형식으로 벡터를 확장하여, 이동 연산도 행렬 곱만으로 처리할 수 있도록 만든 좌표계.
• 자전(Self Rotation): 객체 자신을 기준으로 회전.
• 공전(Orbit Rotation): 외부 기준(예: 원점)을 중심으로 회전.
• 좌표계(Coordinate System): DirectX에서는 왼손 좌표계를 사용한다. 이는 Z축이 화면 안쪽(+Z 방향)을 향함을 의미한다.
• 스자이공부(S-R-T 순서 기억법): Scale → 자전(Rotation) → 이동(Translation) → 공전 → 부모 순서로 연산.

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💻 코드 분석 (행렬 수식 및 구현 개념)

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① Translation – 이동 변환

목적: 객체를 (a, b, c)만큼 이동

수식 설명

벡터:

v = [x y z 1]

행렬:

M = [1 0 0 0
     0 1 0 0
     0 0 1 0
     a b c 1]

연산 결과:

v × M = [x + a, y + b, z + c, 1]

→ 각 좌표에 이동값이 더해짐

핵심: 3×3 행렬로는 불가능한 연산이며, 동차 좌표계(4×4 행렬, 벡터 끝에 1 추가)를 통해 해결함

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② Scale – 크기 조절 변환

목적: 각 축 방향으로 비율 조절 (a배, b배, c배)

수식 설명

벡터:

v = [x y z 1]

행렬:

M = [a 0 0 0
     0 b 0 0
     0 0 c 0
     0 0 0 1]

연산 결과:

v × M = [ax, by, cz, 1]

→ 각 축에 대해 독립적으로 크기가 변화됨

중심 위치에 따른 영향

• 중심이 발에 있을 경우: 스케일 확대 시 자연스럽게 위로만 커짐
• 중심이 배꼽에 있을 경우: 위아래가 동시에 늘어나며, 캐릭터의 위치가 흔들리게 되어 어색함

✅ 따라서, 모델링할 때는 발을 중심으로 잡는 것이 일반적이며 안정적이다.

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③ Rotation – 회전 변환

목적: 특정 축(X, Y, Z)에 대해 θ 만큼 회전

회전 행렬 수식

• X축 기준:

Rx(θ) =
[1     0        0     0
 0  cosθ  -sinθ  0
 0  sinθ   cosθ  0
 0     0      0     1]

• Y축 기준:

Ry(θ) =
[cosθ   0   sinθ   0
   0     1     0    0
 -sinθ   0   cosθ   0
   0     0     0    1]

• Z축 기준:

Rz(θ) =
[cosθ  -sinθ  0  0
 sinθ   cosθ  0  0
   0      0   1  0
   0      0   0  1]

2D Z축 회전 예시 결과 수식

X = xcosθ - ysinθ
Y = xsinθ + ycosθ
Z = z

원점 기준 회전 vs 비원점 회전

• 객체가 원점에 위치하지 않은 경우, 회전을 하면 자신만 회전하는 것이 아니라 위치도 회전되어 움직인다. 이는 공전과 같은 효과를 낳는다.
• 자전만 원할 경우, 먼저 원점으로 이동 후 회전하고 다시 원위치로 되돌리는 연산이 필요함.

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④ SRT 통합 행렬 구성

목적: Scale, Rotation, Translation을 하나의 행렬로 통합하여 효율적인 연산

이유:

• 각각 연산하면 성능/메모리 낭비
• 하나로 합치면 GPU 연산 최적화에 유리

적용 순서 중요:

S → R → T → (공전) → 부모 순으로 곱해야 기대한 결과가 나온다

• 예) T 후 R → 공전처럼 작동 (회전 시 원점이 객체의 현재 위치가 아님)
• 예) R 후 T → 자전처럼 작동 (자기 기준으로 돌고 나서 이동)

✅ 실무에서도 반드시 스자이공부 순서로 구현해야 한다

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⑤ 실제 코드 적용 및 구현 방식

개념:

• TransformData 같은 구조체에서 S, R, T 정보를 저장
• 이를 기반으로 GPU에서 사용할 4×4 행렬을 구성
• Vertex Shader에서 해당 행렬을 position 벡터에 곱하여 최종 위치 계산

구현 요소:

• Matrix 클래스 (4×4 float형 멤버 또는 float[16])
• 생성자(16개 원소 입력 가능)
• 연산 함수 (행렬 × 행렬, 행렬 × 벡터)
• CreateScaleMatrix(a,b,c), CreateRotationZ(θ) 등의 팩토리 함수 제공
• DirectXMath 또는 GLM 같은 라이브러리 사용도 가능

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🎯 핵심 요약

✅ SRT는 변환의 기본 3요소로, 이를 이해하고 구현하는 것이 3D 그래픽스의 출발점이다.

✅ Translation은 동차 좌표계를 통해만 행렬 곱으로 처리 가능하다.

✅ Scale은 중심이 어디냐에 따라 시각적 결과가 달라지므로, 캐릭터 중심은 반드시 발에 맞춰야 자연스러운 표현이 가능하다.

✅ Rotation은 sin, cos 함수를 이용해 축 별 회전 행렬로 구성된다.
→ 원점이 아닌 위치에서 회전 시 공전 효과가 발생하므로 유의해야 한다.

✅ SRT 적용 순서는 절대적으로 중요하며,
→ 순서가 바뀌면 전혀 다른 결과가 나오므로 반드시 스자이공부 순서(S → R → T → Orbit → Parent)로 곱해야 한다.

✅ 실제 게임 구현에서는 변환 행렬을 직접 만들거나 라이브러리를 활용하여 셰이더에 전달하고, GPU에서 벡터와 곱해 모든 시각적 결과를 도출한다.

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좋아요! 업로드하신 “SRT 변환 행렬” 슬라이드를 공부용으로 한 페이지씩 아주 짧고 실전적으로 정리해드릴게요. (필요한 핵심식과 포인트만 넣었습니다.)

페이지별 핵심 요약

1. matrix

• 목적: 좌표 변환을 “행렬 × 벡터” 한 방으로 처리.
• 포맷: 동차좌표(4×4 행렬 · [x y z 1]^T) 사용 → 이동/회전/스케일을 모두 포괄.

2. Scale / Rotation / Translation (S/R/T) 소개

• S: 크기 변경, R: 방향 변경, T: 위치 변경.
• 실무에서는 보통 “S → R → T” 순서로 적용(로컬→월드 변환 관점).

3. 벡터와 행렬

• 점/벡터 = 열벡터로 보고, 변환은 왼쪽에서 4×4 행렬 곱.
• 동차좌표에서 점은 w=1, 방향벡터는 w=0 취급(이동 영향 유/무가 다름).

4. Translation 개념

• 좌표를 고정량 (tₓ, tᵧ, t_z)만큼 이동.
• 직관: “모든 점에 동일 벡터 더하기”.

5. Translation 예시/행렬

• 변환: (x, y, z) → (X, Y, Z) = (x+tₓ, y+tᵧ, z+t_z).

• T(tₓ,tᵧ,t_z)=

  $\begin{bmatrix} 1&0&0&tₓ\\ 0&1&0&tᵧ\\ 0&0&1&t_z\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}$

6. 동차좌표(Translation가 되는 이유)

• [x y z 1]^T의 ‘1’이 위 행렬의 마지막 열(이동)을 살림.
• 방향벡터 [vₓ vᵧ v_z 0]^T에는 이동 성분이 적용되지 않음.

7. Translation 합성

• T(a)·T(b)=T(a+b) (교환 가능).
• 하지만 T와 R/S는 교환 불가 → 순서 중요!

8. Translation 주의점

• 회전·스케일 뒤에 이동하면 “회전 후의 축 기준 위치”가 달라짐.
• 보통 로컬→월드: S → R → T, 스키닝/계층에서는 부모 행렬도 고려.

9. Scale 개념

• (x, y, z) → (sₓx, sᵧy, s_z z).
• Uniform(한 값) vs Non-uniform(축마다 다른 값).

10. Scale 행렬

• S(sₓ,sᵧ,s_z)=

  $\begin{bmatrix} sₓ&0&0&0\\ 0&sᵧ&0&0\\ 0&0&s_z&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}$

11. Uniform vs Non-uniform

• Uniform: 회전 후에도 형태 왜곡 없음.
• Non-uniform: 회전과 섞이면 타원/비틀림 등 직관이 어려워짐(노멀 재정규화 필요).

12. z 스케일 강조 (1)

• z가 깊이 축일 때 s_z가 원근/깊이 해석에 관여(엔진 좌표계에 따라 의미 다를 수 있음).

13. z 스케일 강조 (2)

• 카메라 전/후 클리핑, 깊이 관련 셰이딩에서 s_z의 단위/스케일 주의.

14. z 스케일 강조 (3)

• 모델링 단계의 z 스케일이 0에 가깝거나 음수면 뒤틀림/거울상 문제 발생.

15. z 스케일 강조 (4)

• 충돌/피직스: 비균등 스케일은 바운딩 계산과 충돌해석에 영향.

16. Rotation 개요

• 각도 θ와 축(또는 평면)을 기준으로 회전.
• 행렬 R는 직교행렬(역행렬=전치, det=+1).

17. 기호 R, 성질

• R⁻¹=Rᵀ, ||Rv||=||v|| (길이 보존).
• 연속 회전 합성: R₂·R₁ (순서 바뀌면 결과 달라짐 → 비가환).

18. 축별 기본 회전

• Rₓ(θ), Rᵧ(θ), R_z(θ) 세 축 회전이 기본 빌딩블록.
• 임의 축 회전은 로드리게스 공식 등으로 구성 가능.

19. Z축 회전 행렬

• R_z(θ)=

  $\begin{bmatrix} \cos\theta&-\sin\theta&0&0\\ \sin\theta&\cos\theta&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}$

20. 좌/우수계와 회전 부호

• 우수계(Right-handed) vs 좌수계(Left-handed)에서 θ 부호/회전 방향 차이 주의.
• 사용 엔진(예: OpenGL/DirectX/Unity/Unreal)의 좌표계 규약 확인 필수.

21. z 회전 복습 (1)

• 평면( x–y )에서 z축 회전은 2D 회전과 동일:
  [X Y]^T = [ [c −s],[s c] ] · [x y]^T.

22. z 회전 복습 (2)

• 회전 합성: R_z(α)·R_z(β)=R_z(α+β).
• 그러나 R_z와 Rₓ/Rᵧ는 교환 불가.

23. SRT 합성 & Parent(계층)

• 보통 로컬→월드: M = T · R · S (열벡터/우곱 관례).

  • 반대로 행벡터/좌곱 관례라면 표기가 바뀜. 핵심은 “적용 순서”가 S→R→T라는 점.

• 계층: M_world = M_parent · M_local. 부모 변환이 자식에 누적.

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