[GGP] 10. Euler transforms and quaternions

☁️ Euler Transforms

🔎 Euler transform and Euler angles

= x , y , z 말고 다른 축을 기준으로 돌리고 싶을 때 복잡해진다.

🔎 The order of rotation

= 회전할 때 order가 중요

☁️ Keyframe Animation in 2D

🔎 Keyframe

key frame을 직접 그리고, 사이는 interpolate.

• sampling

🔎 Animation smoothing

고차방정식을 이용해서 부드럽게 보간시킨다. 일반적으로 3차까지 사용한다.

☁️ A Problem of Euler Angles

• Euler angle은 intuitive(직관적)하며, 쉽게 사용할 수 있다.
• 특정축 (x,y,z)을 기준으로 회전시키는 것.

🔎 Problem 1

• two different Euler rotation을 할 때 interpolation이 제대로 되지 않는다.

Example - (60,20,40)으로 rotation 되어있는 object를 다시 Y축 회전 시킨다.
이때, 이전의 rotation으로 rotation axis가 이미 왜곡(distort)되어있다.
왜곡된 상태에서 Y축 회전을 시키면 x,y,z가 모두 변화하기 때문에 회전이 깔끔하지 않다.

🔎 Problem 2

• Gimbal lock
  회전했을 때 축이 일치된 경우 = 한축에 대한 회전상태를 구현할 수 없게 된다.
  y축 이동 = z축 이동이 되어버린다 -> 옛날에는 이 문제를 막기 위해서 90도 회전을 막기도 했다.
  

☁️ Quaternion

• Euler angle의 한계를 극복할 수 있다
• 장점 : more compact, efficient, numerically stable
• 단점 : more complex and difficult to understand
• x,y,z 축으로만 회전을 정의할 수 있었던 Euler와 달리 임의의 축을 기준으로 회전시킨다.

• sin cos를 이용하기 때문에 각도 값이 2π씩 차이 나는 경우에도 동일한 값이 나온다.
• 따라서, 쿼터니온을 사용하여 각도를 인코딩하고 다시 복원할 때, 항상 [0, 2π] 범위로 제한시킨다.

🔎 extended complex number

$q = (q_v,q_w)$

• $q_v$ : vector part / 허수부
  = $q_xi + q_yj + q_zk$
• $q_w$ : scalar part / 실수부

🔎 Hamilton Product

= $pq$

🔎 Conjugation of the quaternion

= 허수부에만 - 를 붙인다

• $q* = (-q_v,q_w)$ = $-q_xi - q_yi - q_ki + q_w$
• $(q*)* = q$
• $(pq)* = q*p*$
• 허수부와 실수부를 나눌 때도 사용된다.
  

🔎 Unit Quaternion

• unit quaternion
  

☁️ Rotation through complex numbers

🔎 2D Rotation

• $p = (x,y) = x +yi$
• $q = cosθ + sinθi$ = unit length complex number
• $pq$ = rotated coordinate
  

🔎 3D Rotation

• $p$ = rotate 해야할 vector
  
• $q$ = unit quaternion / u = unit vector
  
• rotated vector = $qpq*$의 허수부

  • $qpq*$
    

🔎 Multiple Quaternions

• $p'$ = $qpq*$
• quaternion r로 p'을 또 회전할 때
  
• 두개 이상의 회전을 연속으로 할 때에도 간편하게 합칠 수 있구나!

🔎 Quaternion and Negation

u를 θ로 회전한 것 = -u를 -θ로 회전한 것

☁️ Quaternion and Matrix

= Matrix 가 주어졌을 때 Quaternion을 찾을 수도 있다.

• Quaternion q의 rotation matrix
  

1. 대각 원소들의 합 구하기
   
2. matrix의 m21,m12를 뺀다.
   
3. 같은 방식으로 $q_x, q_y$도 구할 수 있다.