앞으로 선형대수 시리즈에 올라오는 모든 내용은 MIT의 Gilbert Strang 교수님의 Linear Algebra and Its Applications과 히라오카 카즈유키, 호리 겐의 프로그래머를 위한 선형대수를 기반으로 하며, 학교 강의 및 추가로 공부한 내용을 개인적으로 정리하고자 글을 작성할 것이다.
공간이라고 생각하면 직관이 먹힌다
이 세상은 3차원의 공간으로 되어있으며, 사람들이 살아가는 이 공간을 표현하고 기술하기 위해서는 어떠한 도구나 방법이 필요하다. 선형대수의 무대가 되는 벡터 공간은 현실 공간의 성질을 특정 수준에서 추상화 한 것이다. 그렇기에 선형대수는 공간을 설명하기에 편리한 도구가 될 수 있다.
현실 공간의 문제를 해결하기 위해서도 있지만, 만약 어떠한 일을 한다해도 단일 수치가 아닌, 다수의 수치를 조합한 데이터를 바탕으로 무언가를 하고 싶을 것이다. 이러한 경우 '공간'과 직접적인 관계가 없기에 일부러 의식하지 않을 수 있지만, 이 데이터를 '고차원 공간 내의 점'이라고 해석하게 된다면 우리는 '공간'에 대한 직관을 활용하는 것이 가능해진다.
사람들은 흔히 3차원 공간만 인식할 수 있지만, 이로부터 유추하게 된다면 그 이상의 차원에서 성립되는 현상도 이해할 수 있게 된다.
근사 수단으로 사용하기 편리하다
선형대수는 선형적 데이터를 다루고, 이는 곧 직선이나 평면을 다루게 된다. 이러면 우리는 상대적으로 예측하기 좋으며 더 나은 결과를 얻을 수 있게 된다. 때로는 비선형적인 데이터를 다루게 되는 경우가 있을텐데, 이러한 경우에도 선형대수는 유효한 수단이 될 수 있다. 부분적으로 확대해서 들여다 보면 결국에는 선형적인 성질을 보이기 때문에, 아주 좋지 않은 데이터가 아니라면 충분히 확대 했을 때 선형적으로 접근할 수 있게 될 것이다. 무조건적으로 해답이 나오지는 않아도 어느정도 도움이 되는 결과를 얻을 수 있기에, 비선형적인 성질을 보이더라도, 이를 근사하게 되면 어느정도 예측하여 좋은 결과를 얻을 수 있다.
기계학습에서 빼놓을 수 없다
최근들어 많은 화두가 되었던 인공지능 분야에 있어 수학의 중요성를 빼놓을 수 없다. 특히 기계학습(Machine Learning)에 있어 수학은 필수적이며, 알고리즘, 미적분, 확률, 통계 등 여러 수학적 요소가 있지만 선형대수가 가장 자주 등장하는 수학적 개념이다. 사람이 계산하는데는 한계가 존재하며, 이를 도와주는 수단이 바로 컴퓨터입니다. 컴퓨터는 수식이 아무리 복잡해지고 많아지더라도 쉽게 계산이 가능합니다. 그리고 이를 위해서는 명령을 해줘야 하는데, 복잡한 수식과 데이터를 간결하게 표현하여 명령한다면 더욱 효과적인 계산이 될 것이며, 이는 선형대수를 알고 있다면 간단한 일이 될 것입니다.
원래부터 선형대수는 연립방정식을 손쉽게 풀고자하는 고민으로부터 시작이 되었으며, 기계학습은 대량의 데이터를 이용해 복잡한 계산을 수행하기 위해서 등장했습니다. 숫자를 이용해 복잡한 계산을 수행하는 것이므로 선형대수의 수식과 기법을 사용하게 된다면 최소한의 노력으로 최대한의 결과를 얻는 것이 가능해집니다.
