106. 떡볶이 떡 만들기

• 동빈이네 떡볶이 떡은 길이가 일정하지 않다. 대신에 한 봉지 안에 들어 가는 떡의 총 길이는 절단기로 잘라서 맞춰준다.

• 절단기에 높이( H )를 지정하면 줄지어진 떡을 한 번에 절단한다.

  • 높이가 H보다 긴 떡은 H 위의 부분이 잘릴 것이고, 낮은 떡은 잘리지 않는다.

높이가 19, 14, 10, 17cm인 떡이 나란히 있고 절단기 높이를 15cm로 지정하면 자른 뒤 떡의 높이는 15, 14, 10, 15cm가 될 것이다.
잘린 떡의 길이는 차례대로 4, 0, 0, 2cm이다.
손님은 6cm만큼의 길이를 가져간다.

• 손님이 왔을 때 요청한 총 길이가 M일 때 적어도 M만큼의 떡을 얻기 위해 절단기에 설정할 수 있는 높이의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

• 입력조건

  • 첫째 줄에 떡의 개수 N과 요청한 떡의 길이 M이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1,000,000, 1 ≤ M ≤ 2,000,000,000)

  • 둘째 줄에는 떡의 개별 높이가 주어진다.

    • 떡 높이의 총합은 항상 M 이상이므로, 손님은 필요한 양만큼 떡을 사갈 수 있다.

    • 높이는 10억보다 작거나 같은 양의 정수 또는 0이다.

• 출력조건

  • 적어도 M만큼의 떡을 집에 가져가기 위해 절단기에 설정할 수 있는 높이의 최댓값을 출력한다.

1. 파라메트릭 서치

n, m = list(map(int, input().split(' ')))
array = list(map(int, input().split()))

start = 0
end = max(array)

result = 0
while(start <= end):
  total = 0
  mid = (start + end) // 2
  for x in array:
    #잘랐을 때 떡의 양 계산
    if x > mid:
      total += x - mid
    
  #떡의 양이 부족한 경우 더 많이 자르기 (왼쪽 탐색)
  if total < m:
    end = mid - 1
  #떡의 양이 충분한 경우 덜 자르기(오른쪽 탐색)
  else:
    result = mid #최대한 덜 잘랐을 때가 정답이므로, 여기에서 result 기록
    start = mid + 1

print(result)

• 파라메트릭 서치

  : 최적화 문제를 결정 문제('예' 혹은 '아니오'로 답하는 문제)로 바꾸어 해결하는 기법

  • '원하는 조건을 만족하는 가장 알맞은 값을 찾는 문제'에 주로 파라메트릭 서치를 사용한다.

  • 보통 파라메트릭 서치 유형은 이진 탐색을 이용하여 해결한다.

• 이 문제의 풀이 아이디어는 적절한 높이를 찾을 때까지 절단기의 높이 H를 반복해서 조정하는 것이다.

  • '현재 이 높이로 자르면 조건을 만족할 수 있는가?'를 확인한 뒤에 조건의 만족 여뷰('예' 혹은 '아니오')에 따라서 탐색 범위를 좁혀서 해결할 수 있다.

• 절단기의 높이 (탐색 범위)는 1부터 10억까지의 정수 중 하나인데, 이처럼 큰 수를 보면 당연하다는 듯이 가장 먼저 이진 탐색을 떠올려야 한다.

• 높이 H를 이진 탐색을 찾는다면, 대략 31번 만에 경우의 수를 모두 고려할 수 있다.

  • 이때 떡의 개수 N이 최대 100만 개이므로 이진 탐색으로 절단기의 높이 H를 바꾸면서, 바꿀 때마다 모든 떡을 체크하는 경우 대략 최대 3,000만 번 정도의 연산으로 문제를 풀 수 있다.

<절단기의 적절한 높이 H를 정하는 과정>

• 이러한 이진 탐색 과정을 반복하면 답을 도출할 수 있다.

  • 중간점의 값은 시간이 지날수록 '최적화된 값'을 찾기 때문에,
    과정을 반복하면서 얻을 수 있는 떡의 길이 합이 필요한 떡의 길이보다 크거나 같을 때마다 결과값을 중간점(mid) 값으로 갱신해주면 된다.

• 현재 얻을 수 있는 떡볶이의 양에 따라서 자를 위치를 결정해야 하기 때문에 이를 재귀적으로 구현하는 것은 귀찮은 작업이 될 수 있다.

  • 일반적으로 이 문제오 같은 파라메트릭 서치 문제 유형은 이진 탐색을 재귀적으로 구현하지 않고, 반복문을 이용해 구현하면 더 간결하게 문제를 풀 수 있다.