선형성의 특징

1. Homogeneity (동질성)

2. Additivity (가산성)

3. Superposition(중첩의 원리)

• Superposition = Homogeneity + Additivity

Time Invariance (시간 불변성)

• 입력 지연 -> 출력 지연, 양상은 그대로, 시간만 지연
• Input signal : u1, u2
• output : y1, y2

< Response by Convolution >

• short pulse $p_\Delta (t)$ : 단위 영역을 가지는 사각 pulse
  
  

Response of pulse

1. 일반적인 펄스의 응답

• $u(t)$ : 시간에 따라 변화
  (unit pulse인 $p_\Delta(t)$에 $\Delta * u(k\Delta)$ 가 곱해져 입력$u(t)$ 도출)

  • $u(t)$ = $u(k\Delta) = (\Delta * u(k\Delta)) * p_\Delta(t)$ = $\Delta * u(k\Delta)*{1\over\Delta}$

• 입력 $p_\Delta (t) \rightarrow$ 응답(출력) $h_\Delta (t)$

  • Homogeneity에 의해
    

• 적분의 원리로 인해 ($\Delta \rightarrow 0, \Delta = d\tau , k\Delta = \tau$)
  

이것을 바탕으로 impulse 응답을 알아볼 것이다.

2. impulse 응답

• impulse : 아주 짧은 시간동안 시스템에 변화를 주는 입력 (넓이가 1)
  • 시간이 0에 극한일 때 1
    

이로인해

Convolution integral

• $t-\tau = s$ 이용
  

• ex) $\dot{y}+ky=u=\delta (t)$, (impulse 가하기 전 : $y=0$) 인 경우 (0초일 때 impulse 입력)

  • $t > 0 \rightarrow \dot{y}+ky=0$ (impulse 가한 이후)
    

$\Rightarrow$ 일반적인 입력에 의한 응답 (0초부터 가해지는 입력)

하지만 이런 식의 convolution integral은 계산이 복잡해서 라플라스 변환과 역변환으로 계산 할 것이다.

라플라스 변환

• 이제 라플라스 변환을 통해 응답을 다음과 같이 표현할 수 있다.
  • $t-\tau = \sigma$
    

하지만 보통 시작을 0초로 두기 때문에 라플라스 변환 : $F(s)=\int^\infty_{0-}f(t)e^{-st}dt$로 생각

1. 라플라스 변환표

2. 라플라스 변환 특성

• 라플라스 역변환은 보통 부분분수로 분리하여 역변환이 쉬운 형태로 바꿔 진행
• 역변환을 통해 원하던 출력 도출

최종적으로 출력은 입력에 전달함수를 곱한 형태

Final Value Theorem (최종값 정리)

• 최종상태가 특정 값으로 수렴하는 정상상태가 되는 시스템일 경우 최종 값을 쉽게 계산 가능

주파수 응답

• 사인파 입력을 시스템에 인가했을 때 나오는 진폭의 크기와 위상이 다른 같은 주파수의 파형 응답

• 최종 형태
  • $H$부분을 $M$에 대한 식으로 변환해 정리

Block Diagram

• 시스템의 인과관계를 알기 쉽게 나타낼 수 있다.
  
• 블록 다이어그램을 더 간단하게 만들 수 있다.