Causal Inference (2) - SCM

ddangchani·2022년 6월 2일
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Causal Inference

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Cause-Effect Model

Structural Causal Model

줄여서 SCM이라고 하는 Structural Causal Model은 인과관계모델을 구조화한 표현이다. 여기서는 우선 원인(C)과 결과(E) 두 변수로 구성된 Cause-Effect 모델만을 다루고, 이에 대한 SCM을 다음과 같이 정의한다.

Def. CEC\to E에 대한 SCM C\mathfrak C는 두 assignment로 구성된다.

C:=NC,    E:=fE(C,NE)where    NCNEC:= N_C,\;\;E:=f_E(C, N_E)\\ \text{where} \;\;N_C \bot N_E

이때 CEC\to E로 표기한 것을 causal graph라고 하며, effect에 직접적으로 연결된 cause 변수를 direct cause라고도 한다.

Intervention

이전 글에서도 잠시 언급했다시피, intervention은 causal model의 한 변수를 변화시키는 것을 의미한다. 이때 interevention이 이루어지면 해당 시스템은 또 다른 분포를 취하는데, 이는 기존의 observational distribution과 별개의 것이다. 예를 들어 SCM C:CE\mathfrak C: C\to E 에서 effect의 값을 4로 변경시키는 intervention이 이루어진다고 하자. 이렇게 직접적으로 값을 변경시키는 것을 hard intervention이라고도 부르는데, 이를 do(E:=4)do(E:=4) 로 표현한다.

E:=4do(E:=4)E:=4 \to do(E:=4)

이때 이러한 intervention이 이루어지면, C의 확률분포 역시 변화될 수 있다. 이를

PCdo(E:=4)P_C^{do(E:=4)}

로 표기하며, 이때 확률밀도함수를 편의상 pdo(E:=4)(c)p^{do(E:=4)}(c) 로 나타낸다. 반면, soft intervention은 좀 더 일반적인 형태로 intervention이 이루어지는 것을 의미한다. 예를 들면 앞서 정의한 SCM C\mathfrak C에 대해 아래와 같이 Noise distribution을 변경하는 것이다(NEN~EN_E \to \tilde N_E).

ex.    do(E:=gE(C)+N~E)\text{ex.}\;\;do(E:=g_E(C) + \tilde N_E)

위 경우 E의 C에 대한 functional dependence term gE(C)g_E(C)는 그대로이고, Noise distribution만 변화된 것을 알 수 있다.
Cause-Effect model의 intervention에서 중요한 것은, cause variable에 대한 개입이 이루어진 경우 effect variable에 영향이 미친다는 것이다. 즉,

PECPEC:do(C)P_E^\mathfrak C \neq P_E^{\mathfrak C:do(C)}

가 성립한다. 그러나 반대로 effect variable에 대한 개입이 이루어진 경우, cause variable은 E에 무관한 Noise variable만으로 주어지므로 확률분포의 변화가 없다. 즉,

PCC=PCC:do(E)P_C^\mathfrak C = P_C^{\mathfrak C:do(E)}

이 성립한다. 따라서 SCM의 개입 문제를 다룰 때, 우리는 개입이 어떤 변수에 대해 이루어지는지 면밀히 살펴볼 필요가 있다.

Counterfactual

Counterfactual은 한국어로 번역하면 ’반사실적인 문장’ 정도로 해석되는데, 이는 고등학교 영어 문법시간에 배우는 가정법을 생각하면 편하다. 가정법에서 조건부에 과거시제를 쓰는 경우는 현재사실과 반대되는 가정(ex. If I were ~)이라는 것을 배운적 있을 것이다. Counterfactual은 이러한 상황을 의미하며, 구체적으로 여기서는 SCM을 통해 counterfactual한 진술을 수치적으로 계산할 수 있음을 살펴보고자 한다. 교재의 예시를 통해 살펴보도록 하자.
어떤 안과에서 특정 증상을 가진 환자들을 진료하는데, 99%의 환자에 대해서는 치료법(T)를 쓸 경우(T=1) 완치되고(B=0), 치료를 놔두면(T=0) 눈이 멀게 된다(B=1). 반면, 특이한 케이스인 1%의 환자에 대해서는 그 반대로 치료를 하지 않아야 눈이 완치된다고 한다. 이를 SCM으로 표현하면 다음과 같다.

C:{T:=NTB:=TNB+(1T)(1NB)where    NTNB,    NBBernoulli(0.01)\mathfrak C:\begin{cases} T:= N_T \\ B:= T\cdot N_B + (1-T)(1-N_B)\end{cases} \\ \text{where} \;\;N_T\bot N_B,\;\; N_B\sim\text{Bernoulli}(0.01)

이때, 어떤 환자 A씨가 병원에 와서 치료를 받고 눈이 멀게되었다고 하자(observation). 그러면 이에 대한 counterfactual statement인 만일 의사가 치료를 하지 않았다면(T=0) 어땠을까? 라는 물음에 다음과 같은 방식으로 답을 추정할 수 있다.

우선, 환자 A씨의 경우에 대해 관측된 사실은 T=B=1T=B=1 이라는 것이고, 이로부터 T=B=1T=B=1 조건 하에서 NB,NTN_B,N_T의 확률분포가 1에서 point mass 1을 갖는다는 것이다. 즉,

PNBT=B=1=PNTT=B=1=δ1P_{N_B|T=B=1}= P_{N_T|T=B=1} = \delta_1

이다. 이로부터 다음과 같은 수정된 SCM

C    B=T=1:{T:=1B:=T+(1T)0=T\mathfrak C\;|\;B=T=1 :\begin{cases} T:=1\\ B:= T+ (1-T)\cdot 0 = T\end{cases}

을 얻을 수 있는데, 이때 counterfactual에 해당하는 진술은 T=0T=0이므로, 이에 대한 intervention do(T:=0)do(T:=0)에 대한 SCM은

C    B=T=1:do(T:=0):{T:=0B:=T=0\mathfrak C\;|\; B=T=1 : do(T:=0) :\begin{cases} T:=0\\ B:= T = 0\end{cases}

이 된다. 즉, (0,0)에서 point mass 1을 가지므로 counterfactual probability(만일 의사가 치료를 하지 않았을 경우)는

PC:do(T:=0)(B=0)=1P^{\mathfrak C:do(T:=0)}(B=0) = 1

이 된다. 즉, 치료를 하지 않았을 경우 실명이 되지 않을 확률이 1이다.

Canonical representation of SCM

Assignment E=fE(C,NE)E=f_E(C,N_E) 에 대해, noise variable NEN_E가 고정값 nEn_E를 갖는다면

E=fE(C,nE)E= f_E(C,n_E)

의 꼴로 쓸 수 있으며, 이는 CC에 대한 deterministic function이다(C에서 E로의 함수). 이때 C,EC,E가 각각 집합 C,E\mathcal{C,E} 에서 값을 취한다면 NEN_E

EC={f    f:CE}\mathcal{E^C} = \{f\;|\; f:C\to E\}

에 속한 함수로부터 값을 취한다. 따라서, 위 함수는 nEn_E 값에 의존하므로

E=nE(C)E= n_E(C)

의 형태로 간추릴 수 있는데, 이를 canonical representation of structural equation이라고 한다.

만일 C={1,,k}\mathcal C = \{1,\ldots,k\}, 즉 finite 하다면

Ek:=E××E\mathcal E^k := \mathcal E\times\cdots\times \mathcal E

이므로, 이는 k차원 벡터공간이고 각 벡터의 j번째 성분은 C=jC=j 값을 취할 때 EE의 값을 의미한다. 따라서, 확률분포 PNEP_{N_E}Ek\mathcal E^k에서의 joint distribution인데, j번째 marginal distribution에 대해

PEC=j=PEdo(C:=j)P_{E|C=j} = P_E^{do(C:=j)}

가 성립한다. 식의 좌변은 observational conditional probability이고, 식의 우변은 interventional probability이다. 이는 cause-effect SCM의 causal intervention(변수 C에 대한 intervention, 우변)이 noise variable NEN_E의 원소에 대한 marginal distribution(좌변)에 의해 결정된다는 것을 의미한다.

Dependencies between noise vector

만일 앞서 살펴본 Ek\mathcal E^k의 원소인 Noise variable vector의 각 성분이 확률적으로 독립이 아니라면 어떻게 될지 살펴보도록 하자. 각 성분이 종속일 경우 SCM의 구조에는 큰 영향을 주지 않지만, counterfactual statement 판단에는 영향을 줄 수 있다. 다음 예시를 살펴보도록 하자.

앞선 두 집합이 C=E={0,1}\mathcal{C=E}=\{0,1\} 로 주어진다면

EC={0,1,I,NOT}\mathcal E^\mathcal C = \{\mathbf {0, 1}, I, NOT\}

으로 주어진다. 여기서 0,1\mathbf{0,1} 은 각각 0, 1로의 상수함수를, II는 항등함수(identity function)를, NOT은 0을 1로, 1을 0으로 mapping하는 함수를 의미한다. 이때 0,1\mathbf{0,1}의 uniform mixture(동일한 확률로 섞은 확률분포)을 PNE1P_{N_E}^1, I,NOTI, NOT의 uniform mixture을 PNE2P_{N_E}^2 라고 두면 두 경우 모두 동일한 marginal distribution을 갖는다.
그러나, 임의의 결과(ex. C=0,E=0C=0, E=0)에 대해 counterfactual ’만일 C가 다른값을 취했다면 E가 다른 값을 나타냈을 것이다’ 를 생각해보면
PNE1P_{N_E}^1에 대해서는 함수가 (C,E)=(0,0)(C,E)=(0,0)으로 결정되어 counterfactual에 대해 E=1E=1이 도출된다. 반면, PNE2P_{N_E}^2에 대해서는 함수가 (0,1)(0,1)로 결정되는데, 이에 반대되는 함수는 (1,0)(1,0)이므로 E=0E=0이 도출된다. 즉, counterfactual statement에 대한 두 진술이 다르게 나타나고, 이는 Noise variable vector의 성분이 서로 종속이기 때문에 발생한 현상이다.

Reference

  • Elements of Causal Inference, Jonas Peters et al.
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행정학도 경찰의 DataScientist 되기

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