Stationarity
우리말로 정상성 이라고 정의하는 Stationarity는 시계열 분석을 수행하기 위해 가정해야 하는 가장 중요한 도구이다. 회귀분석에 비유하자면, 회귀모형의 오차항(흔히 ϵ \epsilon ϵ t t t
{ X t } t ∈ N : x 1 , … , x t \{X_t\}_{t\in\mathbb N} : x_1,\ldots,x_t { X t } t ∈ N : x 1 , … , x t 시계열에 대한 Strict Stationarity는 다음과 같이 정의된다.
F t 1 + h , … , t n + h ( x 1 , … , x n ) = F t 1 , t 2 , … , t n ( x 1 , … , x n ) ∀ n ∈ N F_{t_1+h,\ldots,t_n+h}(x_1,\ldots,x_n) = F_{t_1,t_2,\ldots,t_n}(x_1,\ldots,x_n)\;\; \forall n\in\mathbb N F t 1 + h , … , t n + h ( x 1 , … , x n ) = F t 1 , t 2 , … , t n ( x 1 , … , x n ) ∀ n ∈ N 하지만 일반적으로 n n n
E [ X t ] E[X_t] E [ X t ] 임의의 시간 t , s t,s t , s C o v ( X t + h , X s + h ) = C o v ( X t , X s ) \mathrm{Cov}(X_{t+h}, X_{s+h}) = \mathrm{Cov}(X_t,X_s) C o v ( X t + h , X s + h ) = C o v ( X t , X s )
정상 시계열에서 다음과 같은 Autocovariance function을 정의할 수 있다.
γ X ( h ) = C o v ( X t , X t + h ) \gamma_X(h) = \mathrm{Cov}(X_t,X_{t+h}) γ X ( h ) = C o v ( X t , X t + h ) 이때 정상성 조건에 의해 ACF는 시간에 의존하지 않고, lag(h h h
Autocovariace function으로부터, 공분산으로부터 상관계수를 정의하듯 다음과 같은 Autocorrelation function(ACF)를 정의할 수 있다.
ρ X ( h ) = C o v ( X t + h , X t ) V a r ( X t + h ) V a r ( X t ) = γ ( h ) γ ( 0 ) \begin{aligned} \rho_X(h) &= \frac{\mathrm{Cov}(X_{t+h},X_t)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X_{t+h})\mathrm{Var}(X_t)}} \\ &= {\gamma(h)\over \gamma(0)} \end{aligned} ρ X ( h ) = V a r ( X t + h ) V a r ( X t ) C o v ( X t + h , X t ) = γ ( 0 ) γ ( h ) White Noise
시계열 모형에서 White noise란 선형회귀모형에서 오차항과 비슷한 존재이다. 시계열 모형과 마찬가지로 white noise 역시 시간에 따른 sequence이며, a 0 , a 1 , … a_0,a_1,\ldots a 0 , a 1 , …
C o v ( a t , a s ) = 0 for t ≠ s E [ a t ] = 0 , V a r ( a t ) = σ a 2 (const) \mathrm{Cov}(a_t,a_s) = 0 \;\; \text{for}\;\; t\neq s \\ \mathrm E[a_t] = 0,\;\; \mathrm{Var}(a_t) = \sigma_a^2\text{(const)} C o v ( a t , a s ) = 0 for t = s E [ a t ] = 0 , V a r ( a t ) = σ a 2 (const) References
Time Series Analysis Lecture notes, Kichun Lee, HYU (2013)
