[실해석학] 4. Lebesuge Measure (2)

Lebesgue Measure (르벡 측도)

3. Outer / Inner Approximation of Lebesgue measurable sets

Excision Property

앞으로 다른 명제들을 증명하는 과정에서 excision property를 종종 사용하게 된다. 이때 excise한다는 것을 전체 집합에서 측도가 0인 부분을 도려낸다는(✂️) 의미로 이해하면 될 것이다.

우선, 유한 외측도(finite outer measure)를 갖는 가측 집합 $A$가 $A \subseteq B$를 만족한다면

$m^*(B-A) = m^*(B)-m^*(A)$
(단, $B-A = B \cap A^c$ 로 정의한다 : 차집합 )

이 성립한다. 이로부터 다음의 Outer/Inner approximation 역시 가능함을 알 수 있다.

Approximation

THM 11 실수집합 $\forall E \subset \Bbb R$ 에 대해서 다음은 $E$가 가측인 것과 동치이다.

(Outer Apx) 임의의 $\epsilon \gt 0$ 에 대해 $E \subseteq O$ 인 열린 집합 $O$가 존재한다.
$m^*(O-E) \lt \epsilon$
(Inner Apx) 임의의 $\epsilon \gt 0$ 에 대해 $F \subseteq E$ 인 닫힌 집합 $F$가 존재한다.
$m^*(E-F) \lt \epsilon$

위는 임의의 가측집합 E에 대해 측도가 0인 집합을 절단excise할 수 있는 것을 말한다.

THM 12
정리 11과 같은 조건에서, 서로소인 열린구간열$\{I_k\}$의 합집합인 $O=\bigcup _{k=1}^\infty I_k$ 가 존재하여,

$m^*(E-O) + m^*(O-E) \lt \epsilon$을 만족한다.

4. 가산가법성, 연속성 및 Borel-Cantelli Lemma

Def 르벡 측도Lebesegue Measure : 외측도의 가측 집합으로의 제한restriction

즉, 가측 집합 E에 대해 르벡 측도 $m(E)$는 $m^*(E)$과 같다.

Prop 13 르벡 측도는 가산가법성을 갖는다.

가산개의 서로소인 가측집합열 $\{E_k\}$에 대해, $\bigcup^\infty E_k$는 가측집합이며, $m(\bigcup^\infty E_k) = \sum^\infty m(E_k)$ 이 성립한다.

THM 15
(르벡 측도의 연속성continuity)
증가(감소)하는 가측집합열 $\{A_k\}$($\{B_k\}$)에 대해 다음이 성립한다.

$m(\bigcup_{k=1}^\infty A_k)= lim_{k \to \infty} A_k$
$m(\bigcap_{k=1}^\infty B_k)= lim_{k \to \infty} B_k$
(여기서 집합열의 증가/감소는 각 집합열의 집합들이 연속적으로 포함관계이며 이때 집합의 크기가 점점 커짐/작아짐을 의미한다.)

Def
명제들을 증명하는 과정에서 a.e의 개념이 등장한다. 어떤 명제가 가측집합 $E$의 a.e. on $E$ 에 대해 성립한다는 것은, 특성이 성립하지 않는 E의 부분집합의 측도가 0임을 의미한다.
예를 들어, 집합 $E$와 함수 $f:E\to\R$ 에 대해

로 두고 $m(E_0)=0$ 을 만족한다고 하자. 그러면 이때 우리는 a.e on $E$ 에서 $f=0$이라고 말한다. almost all의 개념도 이와 유사하게, 성립하지 않는 원소들의 집합의 측도가 0임을 의미한다고 보면 된다.

Borel-Canteli Lemma
가산가측집합열 $\{E_k\}$에 대해 $\sum^\infty m(E_k) \lt \infty$ 가 만족되면 거의 모든(almost all) $x \in \Bbb R$ 이 최대 유한 개의 각 $E_k$에 속할 수 있음.
(i.e. 무한 개의 $E_k$에 속하는 원소들의 집합의 측도 $= 0$)

6. Cantor Set

Def
칸토어 집합(Cantor Set, $\Bbb C$)은 다음과 같이 정의된다:

$\Bbb C = \bigcap_{k=1}^\infty C_k$

1. 이때 $C_k$는 감소하는 폐집합열이고,
2. 각 $k$에 대해 $C_k$는 서로 소이고 길이가 $1/3^k$인 $2^k$개 폐구간의 합집합으로 정의된다.
   (EX) $C_0=[0,1]$, $C_1=[0,{1\over3}] \cup [{2\over3}, 1]$

이때, 칸토어 집합에 대해 다음 성질이 성립한다.

Prop 19
칸토어 집합은 닫혀있고, 불가산이며, 측도 0인 집합이다.

pf.
1) 폐구간의 합집합은 폐구간이므로 칸토어 집합 역시 폐집합이다.
2) Finite Subadditivity(유한가법성)에 의해 $m(C_k)=(2/3)^k$ 이므로 $m(\Bbb C)=0$ 이다.

Reference

• Real Analysis, Royden