[실해석학] 3. Lebesuge Measure (1)

Lebesgue Measure (르벡 측도)

흔히 확률론을 다루기 전에 공부해야 하는 필수 과목으로 측도론이 언급된다. 측도론이란 실해석학의 중요한 부분 중 하나로 측도를 다루는 개념인데, 여기서 측도란 쉽게 말해 집합의 크기(길이)를 측정하는 것이다. 여기서 다룰 측도는 르벡 측도이지만, 실제 측도는 여러 종류가 있으며 이에 대한 일반화된 내용은 나중에 확률론에서 확률 측도를 다룰 때 설명하도록 할 것이다.

1. Lebesgue Outer Measure

Def 가산개의 비어 있지 않은 열린, 유계 구간열 $\{I_k\}_{k=1}^\infty$ 을 생각하자. 이때 임의의 집합 A에 대해서 $A\subseteq \bigcup_{k=1}^\infty I_k$ 를 만족한다면 집합 A의 외측도(outer measure)을 다음과 같이 정의한다.

$m^*(A) = inf \{ \sum l(I_k)|A\subseteq \bigcup_{k=1}^\infty I_k\}$

이때, $l(I)$는 구간의 길이를 의미한다. (Ex.구간 $I=(a,b]$에 대해 $l(I)=b-a$ 이다.) 이로부터 다음과 같은 추론이 가능하다.

EX 가산개의 원소를 갖는(countable) 집합 $C$의 (외)측도는 $0$이다

pf. 집합 $C$가 $C = \{c_n : n \in \Bbb N\}$으로 enumerate 되고, C의 덮개가 되는 구간열을 $I_n = (c_n - \epsilon/2^{n+1},c_n + \epsilon/2^{n+1})$으로 두면 이 구간열은 C의 덮개이므로,
$m^*(C) \leq \sum l(I_n) = \sum \epsilon/2^n = \epsilon$

여기서 enumerate된다는 것은 집합의 원소를 나열한다는 것을 의미한다
외측도에 관하여는 다음 명제들이 성립한다.

Prop 1 구간 $I$의 외측도는 구간의 길이와 같다.

Prop 2 외측도는 Translation에 대해 불변이다. 즉,

$m^* (A+y) = m^* (A)$

Prop 3 (Countable Subaddity, 가산가법성)
가산개의 Collection $\{E_k\}_{k \in \Bbb N}$에 대해:

$m^*(\bigcup_{k=1}^\infty E_k) \leq \sum_{k=1}^\infty m^*(E_k)$

2. 르벡 가측집합에 대한 시그마 대수

Def 어떤 집합 $E$가 가측 집합(measurable set)이라는 것은 다음을 의미한다($E$가 measurable 하다).

임의의 집합 A에 대하여 $m^*(A) = m^*(A \cap E) + m^*(A \cap E^c)$

이때, 외측도의 가산가법성(Prop 3)에 의해 $A = (A \cap E) \cup (A \cap E^c)$ 로부터 $m^*(A) \leq m^*(A \cap E) + m^*(A \cap E^c)$ 이므로

집합 $E$가 Measurable 한 것과 $m^*(A) \geq m^*(A \cap E) + m^*(A \cap E^c)$ 한 것은 동치이다.

Prop 4 외측도가 $0$인 임의의 집합은 가측 집합이다.

Prop 5 유한개의 가측집합열의 합집합은 가측 집합이다.

Prop 6 집합 A와 유한개의 서로 소인 집합열 $\{E_k : k \in \Bbb N\}$에 대해

$m^*(\bigcup_{k=1}^n E_k) = \sum_{k=1}^n m^*(E_k)$

Prop 7
가산개의 가측집합열의 합집합은 가측 집합이다.

pf. Let $E = \bigcup_{k=1}^\infty E_k$ then $E = \bigcup_{k=1}^\infty {E_k}'$ where ${E_k}' = E_k -\bigcup_{i=1}^{k-1} E_i$
이때 각 $E_k'$는 서로 소이다.
또한, $F_n = \bigcup_{k=1}^n E_k$로 두면 $F_n \subseteq E$ 이므로 이는 $E^c \subseteq F^c$와 동치이다.
임의의 집합 A에 대해,
$\begin{aligned} m^*(A) &= m^*(A \cap F_n) + m^*(A \cap F_n^c) \\ &\geq m^*(A \cap F_n) + m^*(A \cap E^c) \end{aligned}$ 이 성립하고,
Prop 6에 의해 $m^*(A \cap F_n) = \sum_{k=1}^n m^*(A \cap E_k)$ 이므로 $n \to \infty$ 에 따라
$\therefore m^*(A) \geq m^*(A \cap E) + m^*(A \cap E^c)$

Def 실수 $\Bbb R$의 부분집합들의 모임이 시그마 대수일 조건은 다음과 같다.

C1. It contains $\Bbb R$
C2. 여집합과 가산개의 합집합에 대해 닫혀있다.

Prop 8 모든 구간은 가측집합이다.

Def $\Bbb R$의 부분집합들의 모든 시그마 대수들의 교집합이 열린 집합들을 포함한다면 이를 보렐 시그마 대수Borel $\sigma$-algebra라고 부른다.
또한, 보렐 시그마 대수의 각 원소를 보렐 집합Borel set이라고 정의한다.
$\Rightarrow$ 모든 보렐 집합은 가측 집합이다.

THM 9 보렐 집합들의 시그마 대수 $\mathcal B$를 포함하는 가측 집합들의 모임 $\mathcal M$ 역시 시그마 대수이다.
$\Rightarrow$ 임의의 열린(혹은 닫힌)구간 및 $F_\delta, G_\delta$ 집합은 모두 가측 집합이다.

Prop 10 가측 집합 $E$의 Translation $E+y$ 역시 가측 집합이다.

Reference

• Real Analysis, Royden