Real analysis

1. Three Major Axioms in Real Numbers 1. Field Axiom (체공리) 다음 9가지 성질을 만족하는 set $F$ 를 Field(체) 라고 정의한다. >덧셈에 대한 교환법칙(Commutativity) 덧셈에 대한 결합법칙(Associa

1. Countability(가산성) > Def 집합 $E$가 가산무한집합Countably finite set : $E$가 자연수 집합 $\Bbb N$과 equipotent하다. 이때 Equipotent는 일대일대응으로 생각하면 편하다. (엄밀히 알기 위해서는 동치관계

흔히 확률론을 다루기 전에 공부해야 하는 필수 과목으로 측도론이 언급된다. 측도론이란 실해석학의 중요한 부분 중 하나로 측도를 다루는 개념인데, 여기서 측도란 쉽게 말해 집합의 크기(길이)를 측정하는 것이다. 여기서 다룰 측도는 르벡 측도이지만, 실제 측도는 여러 종류

앞으로 다른 명제들을 증명하는 과정에서 excision property를 종종 사용하게 된다. 이때 excise한다는 것을 전체 집합에서 측도가 0인 부분을 도려낸다는(✂️) 의미로 이해하면 될 것이다. 우선, 유한 외측도(finite outer measure)를 갖는

다음 조건을 만족시키는 실함수 $f:E \\to \\Bbb R$ 는 르벡 가측함수Lebesgue Measurable Function이다:1) 정의역 E가 가측집합이다. 2) 임의의 실수 $c\\in \\Bbb R$에 대해 집합 $${x\\in E|f(x)\\gt c}$

유한 측도를 갖는 가측집합 $E$와 $E$에서의 실함수열 {$fn$}에 대해 $f_n \\to f$ 일때 (a)\_,1\. $\\forall \\epsilon>0$ 에 대해 닫힌 집합 $F$가 존재하여 $F$에서 $f_n$이 $f$로 균등수렴하고 2\. $m(E-F)

해석개론에서는 리만적분과 이를 확장한 리만-스틸체스 적분을 다루었다. 스틸체스 적분은 리만적분을 단조함수를 기반으로 확장했다고 볼 수 있지만, 앞으로 다룰 르벡적분의 경우는 측도론에 기반해 전개되기 때문에 별개의 이론으로 보는 것이 적합하다고 생각된다(하지만 확률론을

Def 함수 $f$에 대해 다음 두 nonnegative 함수를 정의하면$f^+ = \\max(f, 0)$$f^-= -\\min(f, 0)$ $$|f| = f^+ +f^- \\f = f^+-f^- $$임을 알 수 있다.위 두 함수는 nonnegative func

Def$E$에서의 가측함수들의 집합족 $\\mathcal F$가 다음을 만족할 때 $E$에서 Tight 하다고 정의한다.$$\\forall \\epsilon>0,\\; \\exists E0 \\subseteq E \\text{ w/ } m(E_0) <\\inft

실해석학에서 다루는 공간들에는 거리공간, 위상공간 등 여러 종류가 있다. 그중에서도 엘피공간(작성의 편의를 위해 L^p를 가끔 엘피로 쓰게되었다😅)은 르벡적분과 관련해 매우 중요한 개념이고 머신러닝에서도 종종 주요한 개념으로 사용되기 때문에, 반드시 정확히 숙지할 필

Def 노음선형공간 X에서 함수열의 수렴 $f_n \\to f$ 은 다음과 같이 정의한다.$$\\lim_n\\Vert f-f_n\\Vert = 0$$마찬가지로, 함수열 $f_n$이 코시수열임은 다음과 같이 정의한다.$\\forall\\epsilon>0,\\; \\exi

쌍대성을 정의하기 이전에, 선형 범함수linear functional에 대해 알 필요가 있다. 우선 범함수란, 함수들의 함수로 어떠한 함수공간을 정의역으로 하고 실수 혹은 복소수 집합을 공역으로 하는 함수이다. 이때, 함수공간은 벡터공간이기 떄문에 벡터공간에서부터 실수

L^p 공간에서의 함수열의 수렴을 정의하기 위해서는 노음선형공간에서의 함수열의 수렴이 먼저 정의되어야 한다. Def 노음선형공간 $X$의 함수열 $fn$이 $f$ 로 약한 수렴한다는 것 ($f_n \\to f$) 은 다음을 의미한다.$$\\lim_nT(f_n) = T(

THM 14 가측집합 $E$와 $1<p<\\infty$ 에 대해, $L^p(E)$ 공간에서의 임의의 유계수열 ${f_n}$은 $f \\in L^p(E)$ 로 약한 수렴하는 부분수열을 가진다. 위 정리를 증명하기 위해서는 먼저 다음 헬리의 정리를 증명해야

Def선형공간 $X$의 부분집합 $C$가 Convex set 이다: $\\forall f.g\\in C, \\quad \\forall \\lambda \\in 0,1$ 에 대해 $\\lambda f+(1-\\lambda)g \\in C$ 가 성립한다.또한, 다음

바나흐 고정점 정리(혹은 축약 사상 정리)는 축약사상에 대해 고정점이 하나만 존재한다는 정리이다. 우선 이를 알기 위해 축약 사상과 고정점의 개념에 대해 다루어보자. Def 거리공간 X에서의 점 $x\\in X$ 와 사상 $T:X\\to X$ 에 대해 $T(x)=x

위상공간은 집합의 일종으로, 위상(토폴로지, topology)이 부여된 공간을 의미한다. 앞서 살펴본 거리공간 역시 위상공간의 일종인데, 거리공간에서의 거리의 개념이 위상을 정의하기 때문이다. 이 장에서 다루고자 하는 위상공간은, 거리공간보다 더 일반적인 개념이며 이를

위상공간 X의 부분집합 $A,B \\subset X$ 가 서로소라고 하자. 만일 $A,B$ 각각의 서로소인 근방이 존재한다면, 이를 근방에 의해 분리된다고 표현한다. 이 장에서는 네 가지의 주요 분리 성질을 바탕으로 위상공간을 분류하는 것을 다룬다. 위상공간 $X$

위상공간 $(X,\\mathcal{T})$와 $(Y,\\mathcal{S})$ 를 연결하는 사상 $f:X\\to Y$ 가 점 $x_0$에서 연속이기 위한 조건은 다음과 같다. $f(x_0)$의 임의의 근방 $\\mathcal{O}$ 에 대해 $x_0$의 근방 $\\

이전까지 다루었던 측도의 개념은 르벡 측도에 관한 것으로, 가측집합의 모임들이 시그마 대수인 것을 외측도의 제한으로 보였으며, 이를 통해 측도론을 구성해왔다. 이를 르벡 측도의 Caratheodory construction 이라고 부르는데, 여기서는 이러한 기술을 좀

Dynkin's $\\pi-\\lambda$ system이라고도 불리는 체계는 실변수함수론에서 다양한 정리들을 증명하거나 할 때 유용하게 사용된다. 또한, 확률론에서도 사건이나 random event의 독립성을 확인할 때 역시 이용된다. 우선 $\\pi$ system,

이전 글들에서 르벡 측도를 이용해 정의한 르벡적분과 앞으로 살펴볼 일반측도 $\\mu$를 이용해 정의하는 르벡적분은 크게 다르지 않다. 르벡측도를 이용한 르벡적분은 $\\mu=m$ 의 특수한 경우이지만 대부분의 중요한 정리들은 그대로 성립한다.이전에 살펴본 단순함수근사

이번 글에서는 르벡적분에 대한 다중적분을 정의해보도록 할 것이다. 다중적분을 하기 위해서는 곱함수가 정의되는 product space와, product space에서 측도로 사용될 수 있는 product meausre이 필요할 것이다.두 위상공간 $X,Y$에 대한 ca

measurable space $(X,\\mathcal{X})$ 에서 두 측도 $\\mu,\\nu$ 가 정의되었다고 하자. 이때 임의의 $\\mu$-null set이 $\\nu$-null set이라면, 즉$$\\mu(A)=0\\Rightarrow\\nu(A)=0$$이라