[실해석학] 6. 예고로프의 정리, 루진의 정리

김당찬·2022년 2월 20일
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Real analysis

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Lebesgue Measurable Function

Egoroff's THM예고로프의 정리

유한 측도를 갖는 가측집합 EEEE에서의 실함수열 {fnf_n}에 대해 fnff_n \to f 일때 (a),
1. ϵ>0\forall \epsilon>0 에 대해 닫힌 집합 FF가 존재하여 FF에서 fnf_nff로 균등수렴하고
2. m(EF)<ϵm(E-F) < \epsilon 를 만족한다.

Lemma

THM의 조건 (a)가 주어질 때, 임의의 η,δ>0\eta, \delta >0 에 대해 다음을 만족시키는 자연수 NNEE의 가측부분집합 AA가 존재한다.

nN\forall n \geq N, fnf<η|f_n-f|<\eta on AA,
m(EA)<δm(E-A)<\delta

Proof of Egoroff's THM

임의의 nNn \in \Bbb N, ϵ>0\epsilon>0, δ=ϵ/2n+1,η=1/n\delta = \epsilon / 2^{n+1}, \eta=1/n 에 대해 Lemma를 만족하는 EE의 가측부분집합열 {AnA_n}과 자연수 N(n)N(n)을 잡자.
A=n=1AnA = \bigcap_{n=1}^\infty A_n으로 두면,

m(EA)=m(n=1[EA])m(EAn)<ϵ/2m(E-A) = m(\bigcup_{n=1}^\infty[E-A]) \leq \sum^\infty m(E-A_n) < \epsilon /2

이다.
또한, ϵ>n0\epsilon > n_0n0n_0을 잡으면 대해 fkf<1/n0=ϵ|f_k-f|<1/n_0=\epsilon 이고, AAn0A \subseteq A_{n_0} 이므로 N(n0)N(n_0) 보다 큰 kk에 대해 AA에서 fkf<ϵ|f_k-f|<\epsilon 이므로 fnf_nff로 균등수렴한다.
Inner Approximation에 의해 FAF \subset A이고 m(AF)<ϵ/2m(A-F)<\epsilon/2를 만족하는 닫힌 집합 FF를 잡을 수 있다.
m(EF)<ϵ\therefore m(E-F) < \epsilon

Egoroff의 정리를 이용하면 다음 명제도 유추할 수 있다.

Prop E에서의 단순함수 ff와 임의의 ϵ>0\epsilon>0 에 대해 실수 전체에서 연속인 함수 gg와 닫힌 집합 FF가 존재하여 FF에서 f=gf=g 이고 m(EF)<ϵm(E-F)<\epsilon을 만족한다.

Lusin's THM

EE에서의 가측 실함수 ff와 임의의 ϵ>0\epsilon>0에 대해 다음을 만족하는 연속실함수 gC(R)g \in C(\Bbb R) 과 닫힌 집합 FEF \subset E가 존재한다,

  • f=g  f=g\; on   F\;F
  • m(EF)<ϵm(E-F)<\epsilon

pf. ( m(E)<m(E)<\infty 인 경우만 증명)
단순함수 근사에 의해 E에서 ff로 점별수렴하는 단순함수열 {fnf_n}을 잡자.
이때, Egoroff 정리의 연장 명제로부터 닫힌집합 FF와 실수 전체에서 연속인 함수열 gng_n을 잡아 집합 FnF_n에서 fn=gnf_n=g_n 이고 m(EFn)<ϵ/2n+1m(E-F_n)<\epsilon/2^{n+1} 을 만족하도록 하자.
또한, Egoroff 정리로부터 {fnf_n}이 F0F_0에서 ff로 균등수렴하고 m(EF0)<ϵ/2m(E-F_0)<\epsilon/2가 되는 E의 닫힌 부분집합 F0F_0을 잡을 수 있다.
F=n=0FnF=\bigcap_{n=0}^\infty F_n 으로 정의하면 FF는 닫힌집합이고,

m(EF)=m([EF0]n=1[EFn])<ϵm(E-F) = m\bigl([E-F_0] \cup \bigcup_{n=1}^\infty [E-F_n]\bigl) < \epsilon

이다. 또한 FF0F \subseteq F_0 이고 fnf_nff로 균등수렴하므로 ff 역시 연속이고 FF로의 restriction 역시 연속이다.
따라서, R\Bbb R에서의 함수 gg가 연속이고 FF로의 restriction이 ff와 동일하도록 잡으면 정리가 성립한다.

Reference

  • Real Analysis, Royden
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