[실해석학] 7. 르벡 적분(1)

Lebesgue Integral

해석개론에서는 리만적분과 이를 확장한 리만-스틸체스 적분을 다루었다. 스틸체스 적분은 리만적분을 단조함수를 기반으로 확장했다고 볼 수 있지만, 앞으로 다룰 르벡적분의 경우는 측도론에 기반해 전개되기 때문에 별개의 이론으로 보는 것이 적합하다고 생각된다(하지만 확률론을 다루기 위해서는 반드시 필요하다😅).
또한, 르벡적분의 내용들은 르벡측도뿐 아니라 일반 측도 $\mu$에 대해서도 대부분 그 내용이 동일하게 성립한다.

유계,유한 가측함수에 대한 르벡 적분

단순함수의 르벡 적분
르벡적분의 정의는 적분의 대상이 되는 함수를 점차 확장해가며 진행된다.우선 기본적으로 단순함수의 르벡적분부터 정의되고, 이를 바탕으로 일반적인 함수에까지 확장된다.

유한측도를 갖는 $E$ 에서 Canonical Form $\psi = \sum_{i=1}^n a_i\chi_{E_i}$ 을 갖는 단순함수의 적분은 다음과 같이 정의된다.

$\int_E \psi = \sum_{i=1}^n a_i\cdot m(E_i)$

Lebesgue Integral of bounded $f$
유계함수 $f$에 대한 르벡 상(하)적분은 다음과 같이 정의된다.

상적분 : $\inf\{\int_E \psi : f \leq \psi \text{ on } E \}$
하적분 : $\sup\{\int_E \varphi : \varphi \leq f \text{ on } E \}$

이때, 상적분과 하적분의 값이 동일하면 유계함수 f가 Lebesgue-Integrable 하다고 정의하며 이때의 적분값을 $\int_E f$로 정의한다.
또한, 위와 같이 정의된 단순함수의 르벡 적분은 적분의 선형성linearity을 만족한다.

르벡적분가능성

$f$가 유한측도 집합 $E$ 위에서 유계이고 가측함수이면 $f$는 르벡적분가능하다.

($\because$) Simple Approximation Lemma로 부터 $\epsilon=1/n$에 대한 $E$ 에서의 단순함수 $\varphi_n, \psi_n$를 잡을 수 있고 이때 $n$을 크게 하면 상적분과 하적분의 차는 0으로 수렴한다.

The Bounded Convergence THM(유계수렴정리)

균등유계uniformly bounded인 가측함수열 {$f_n$}이 유한측도집합 $E$에서 정의되어 있다고 하자. 이때, $E$ 에서 $f_n$이 $f$로 점별수렴하면

$\lim_{n \to \infty} \int_E f_n = \int_E f$

이 성립한다.

Nonnegative Measurable function에 대한 르벡 적분

정의

$E$에서 $f \geq 0$ 이고 가측인 함수(비음가측함수) $f$의 르벡 적분은 다음과 같다.

여기서 $f$가 유한 support를 갖는다는 것은 집합 {$x \in E : f(x) \neq 0$} 이 유한 측도를 갖는다는 것을 의미한다.

체비셰프의 부등식Chebyshev's Inequality

체비세프의 부등식은 학부 수리통계학에서 등장하는데, 어떤 확률변수가 특정 값 이상일 확률의 상한을 제시한다. 아래 부등식을 통해 유추해보면, 확률은 측도이고 기댓값은 르벡적분의 일종임을 유추할 수 있다(자세한 내용은 나중에).

비음가측함수 $f : E \to \Bbb R$ 과 $\forall \lambda>0$ 에 대해 다음이 성립한다:

$m\{x\in E :f(x) \geq \lambda\} \leq {1 \over \lambda} \int_E f$

증명은 다음과 같다.

우선 $E_\lambda = \{x\in E : f(x) \geq \lambda \}$ 라고 두자.
1. $m(E_\lambda) = \infty$ 일 때:
$E_{\lambda,n} = E_\lambda \cap [-n,n]$ 이고 $\psi_n = \lambda \cdot \chi_{E_{\lambda,n}}$으로 두면 $\psi_n$은 유한 support를 갖는 유계 가측함수이다.
따라서 비음가측함수의 르벡적분 정의에 의해

$\int_Ef \geq \lim_n \int_E\psi_n = \lambda \cdot \lim_nm(E_{\lambda,n})=\lambda \cdot m(E_\lambda) = \infty$

2. $m(E_\lambda) < \infty$ 일 때:
   $h = \lambda \cdot \chi_{E_\lambda}$ 로 두면 함수 $h$는 유계, 가측이고 유한 support를 가지므로 정의에 의해
   $\int_E f \geq \int_E h =\lambda \cdot m(E_\lambda)$

또한 체비세프의 부등식으로부터 nonnegative measurable $f$에 대해 $f$의 르벡 적분값이 0인 것과 $f = 0$ a.e. on $E$는 동치임을 알 수 있다.

Fatou's Lemma

$E$에서의 비음가측함수열 {$f_n$} 에 대해 다음 명제가 성립한다.

$f_n \to f \;\text{ a.e. on}\; \;E \Rightarrow\int_E\liminf_nf_n \leq \liminf_n \int_Ef_n$

암기할 때에는 ILLLI(Integral liminf lower liminf integral)로 외우면 편하다😃

Monotone Convergence THM(MCT)

Fatou's Lemma에서 $f_n$이 단조증가함수이면

이 성립한다.

비음가측함수의 적분가능성

Nonnegative Measurable Function $f$가 적분가능하다(Integrable)는 것은 $\int_Ef < \infty$ 임을 의미한다.

Prop Nonnegative Integrable $f$는 a.e. on $E$ 에서 유한하다.

pf. 임의의 자연수 $n$에 대해

$m\{x\in E : f(x) = \infty\} \leq m\{x\in E : f(x)\geq n\} \leq {1\over n}\int_Ef$

이므로 위 명제가 성립하는 것을 알 수 있다.

Reference

• Real Analysis, Royden