1.3 네 가지 기본 부분공간

네 가지 기본 부분공간

1. 열공간 (Column Space), C(A)
A의 열 벡터들이 생성하는 공간
차원 : rank(A)

2. 행공간 (Row Space), C($A^T$)
$A^T$가 생성하는 공간
차원 : rank(A)(열공간과 동일)

3. 영공간 (Nullspace), N(A)
Ax=0을 만족하는 모든 x의 집합
차원 : n-r (열 수 n에서 rank r을 뺌)

4. 왼쪽 영공간 (Left Nullspace), N($A^T$)
$A^T$y=0을 만족하는 모든 y
차원 : m-r (행 수 m에서 rank r을 뺌)

이 네 공간이 서로 직교하는 관계를 가진다.
열공간 벡터는 왼쪽 영공간의 모든 벡터와 내적이 0이고, 행공간의 벡터는 영공간의 모든 벡터와 내적이 0이다.

AB와 A+B의 랭크

요약하자면 AB는 곱했을 때 랭크가 절대 커지지 않고, 작은 쪽보다 클 수 없다.
A+B는 더하거나 뺄 때 랭크가 커질수도, 작아질 수도 있음, 하지만 위 부등식 범위 안에서 변화한다.