📊 확률의 공리적 정의 (Axiomatic Definition of Probability)

1. 확률(Probability)의 정의

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 전통적인 확률의 정의는 다음과 같습니다.

확률(probability) : 각 원소들의 가중치를 바탕으로, '모든 사건의 경우의 수'에 대한 '특정 사건이 발생할 경우의 수'의 비율

 위 정의에서 핵심은 두 가지입니다.

1) 확률은 전체 집단 내의 모든 원소에 대한 가중치를 바탕으로 계산하게 된다.

2) '모든 사건의 경우의 수'에 대한 '특정 사건이 발생할 경우의 수'의 비율

 확률에 대한 수학적 정의 및 조건입니다.

1. 전체 집합에서 모든 원소에 가중치가 부여된다. 따라서, 사건(event) A의 확률은 사건 A에 포함된 원소들의 가중치의 합이다.
   
   
2. 또한, 사건 A의 확률은 0≤P(A)≤1 범위를 갖는다.
   
   
3. P(Ø)=0, P(S)=1이다. 각각 Ø는 공사건, S는 전사건이다.

2. 가중치가 다른 원소에 대한 확률

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 예를 들어, 주사위 한 개를 던질 때 짝수가 홀수보다 나올 빈도가 3배나 높다고 가정합시다. 이때, 주사위를 한 번 던질 때, 4보다 작은 수가 나올 사건 A의 확률인 P(A)을 구해봅시다.

 우선 위에서 말씀드린 확률의 핵심 중 첫번째, 각 원소의 가중치를 파악해야 합니다. 여기서 짝수가 홀수보다 나올 빈도가 3배나 높다고 가정했습니다. 정리해봅시다.

• 1, 3, 5가 나올 빈도 = s
• 2, 4, 6이 나올 빈도 = 3s
  
  
• 1, 2, 3, 4, 5, 6의 각 가중치의 합 = P(S) = 1
  → P(S) = s + 3s + s + 3s + s + 3s = 1
  

 각 요소에 가중치를 지정한 다음, 4보다 작은 수가 나올 사건 A의 확률을 구해야 합니다. 여기서 사건 A은 다음과 같습니다.

 따라서 구해야하는 사건 A의 확률 P(A)는 다음과 같습니다.

3. 가중치가 같은 원소에 대한 확률

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 만약 전사건 S의 모든 원소가 같은 가중치를 갖는다면, 사건에 대한 비율은 다음과 같습니다.

어떤 시행에서 N개의 서로 다른 결과가 동일한 확률로 발생할 때
이 중 n개의 원소를 갖는 사건 A의 확률은 다음과 같다.

1) 눈의 가중치가 모두 같은 주사위 던지기

 이번에는 주사위의 모든 원소 나올 확률이 1/6로 가정합니다. 여기서 주사위를 두번 던질 때, 눈의 합이 4 이하인 사건 E에 대한 확률을 구해봅시다.

 우선 주사위 원소의 가중치는 다음과 같습니다.

 주사위를 두 번 던졌을 때, 발생 가능한 경우의 수는 다음과 같습니다.

 마지막으로 구하고자 하는 사건 E의 확률은 다음과 같습니다.

2) 임의의 공 뽑기

 다음은 빨간색 공 5개와 초록색 공 3개가 들어있는 주머니에서 공 3개를 임의로 꺼낼 때, 초록색 공 2개가 반드시 포함되어야 할 확률을 구하는 문제입니다. 정리해봅시다.

• 상황 : 빨간색 공 5개, 초록색 공 3개
• 문제 : 임의의 공 3개 추출
• 조건 : 초록색 공 2개 포함

4. 배반 사건에 대한 확률

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 사건 A, 사건 B, 사건 C가 서로 배반일 경우, 세 사건의 교집합(곱사건, A∩B∩C)은 공집합(Ø)이고, 이때의 확률 P(A∩B∩C)=0입니다.

 그리고 합집합의 확률 P(A∪B∪C)은 다음과 같습니다.

💡 정리

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1. 전체 원소의 가중치를 바탕으로, '전사건의 경우의 수'에 대한 '특정 사건의 경우의 수'의 비율을 확률이라 한다.
   
   
2. 확률을 구하는 방법은 다음과 같다.
   ① 원소별 가중치 구하기
   ② 전사건의 경우의 수 구하기
   ③ 특정 사건의 경우의 수 구하기
   ④ '전사건 경우의 수'에 대한 '특정 사건 경우의 수'의 비율 구하기
   
   
3. 각 사건이 배반일 때, 교집합(교사건)의 확률은 0, 합집합(합사건)의 확률은 각 사건의 확률을 더한 값이다.

참고 자료

• [확률과 통계] 7. 확률의 공리적 정의