인공지능 수학 - 선형대수
jupyter notebook 사용하기
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terminal 명령어
-dir: 현재 디렉토리에 있는 파일, 폴더 확인
-cd 디렉토리 이름: change directory
-cd ..: 상위 디렉토리로 이동
-mkdir 디렉토리 이름: make directory -
jupyter notebook 단축키
-enter: 입력 모드 /esc: 명령 모드
-Y: Code cell /M: Markdown cell
-A: 명령 모드에서 현재 cell 위에(above) 새로운 cell 추가
-B: 명령 모드에서 현재 cell 아래에(below) 새로운 cell 추가
-dd: 명령 모드에서 현재 cell 삭제
-ctrl/cmd + Enter: 입력 모드에서 현재 cell 실행
-
markdown 문법
-#: 1개부터 6개까지 제목을 나타내는 데 쓸 수 있다.
-*, _: 문자 앞뒤로 감싸면 기울어진 문자(이탤릭체)를 쓸 수 있다.
-**: 문자 앞뒤로 감싸면 두꺼운 문자(bold 처리)를 쓸 수 있다.
-~: 문자 앞뒤로 감싸면 취소선 처리를 할 수 있다.
numpy로 숫자 다루기
- numpy로 연산하기
- 왜 numpy를 사용해야 할까?
-numpy.array: numpy의 container로 여러 자료를 담을 수 있는 자료형
-arr = np.array([1, 2, 3])
-arr.shape: 자료의 차원을 확인
선형시스템
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선형대수(Linear Algebra)의 목표
- 어떤 연립일차방정식, 즉 선형시스템(linear system) 문제라도 정형적인 방법으로 표현하고 해결하는 방법을 배우는 것
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선형시스템의 구성요소
- 선형방정식(linear equations)
- 미지수(unknown 혹은 variable)
- N개 선형방정식과 M개 미지수로 구성된 연립일차방정식을 N * M linear system이라고 한다. -
선형시스템의 대수적 표현:
Ax = b
1. 선형시스템의 미지수를 모아 열벡터(column vector) x로 표현한다.
2. 선형시스템의 선형방정식에 대해 다음을 수행한다.
- 계수(coefficients)를 모아 A의 행벡터(row vector)로 표현한다.
- 상수(constant)를 모아 b에 표현한다.
가우스 소거법
임의의 m x n 선형시스템의 해를 구하는 가장 대표적인 방법
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선형시스템의 해
- 해가 하나인 경우3x = 6
- 해가 없는 경우0x = 6
- 해가 여러개인 경우0x = 0
- a = 0이면 특이하다. a의 역수(inverse)가 존재하지 않는 경우, a가 특이(singular)하다고 한다.
- 해가 있으면 선형시스템이 consistent하다고 한다.
- 해가 없으면 선형시스템이 inconsistent하다고 한다. -
가우스 소거법
- 전방소거법(forward elimination): 주어진 선형시스템을 아래로 갈수록 더 단순한 형태의 선형방정식을 가지도록 변형한다.
- 후방대입법(back-substitution): 아래에서부터 위로 미지수를 실제값으로 대체한다.
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소거법에 활용되는 세가지 기본행연산(elementary row operations, EROs)
- Replacement(치환): j번째 행을 기준행인 i번째 행을 m배하여 빼서 업데이트 한다.
- Intercharge(교환): j번째 행과 i번째 행의 위치를 서로 바꾼다.
- Scaling(스케일링): j번째 행을 s배 스케일링한다.
- 전방소거법의 가치
- 전방소거법은 기본행연산을 활용하여 주어진 선형시스템 Ax=b에서 행렬 A를 상삼각형태(upper triangular form)으로 만드는 작업을 수행한다.
- 주어진 선형시스템을 가장 풀기 쉬운 꼴로 변형해준다.
- 주어진 선형시스템의 rank(랭크)를 알려준다.
- 선형시스템이 해가 있는지(consistent) 아니면 해가 없는지(inconsistent) 알려준다.
