[백준] 11053번: 가장 긴 증가하는 부분 수열 / Python / 다이나믹 프로그래밍(DP)

가장 긴 증가하는 부분 수열

문제

수열 A가 주어졌을 때, 가장 긴 증가하는 부분 수열을 구하는 프로그램을 작성하시오.

예를 들어, 수열 A = {10, 20, 10, 30, 20, 50} 인 경우에 가장 긴 증가하는 부분 수열은 A = {10, 20, 10, 30, 20, 50} 이고, 길이는 4이다.

입력

첫째 줄에 수열 A의 크기 N (1 ≤ N ≤ 1,000)이 주어진다.

둘째 줄에는 수열 A를 이루고 있는 Ai가 주어진다. (1 ≤ Ai ≤ 1,000)

출력

첫째 줄에 수열 A의 가장 긴 증가하는 부분 수열의 길이를 출력한다.

풀이 방법

역시나 dp 테이블을 어떻게 구성할 것인지가 중요하다. dp[i]에 nums[i]를 마지막 숫자로 가질 때 가장 긴 증가하는 부분 수열의 길이를 저장하면 된다.

dp 테이블의 원소를 모두 1로 초기화한 뒤, 현재 숫자 nums[i]가 이전에 있는 숫자 nums[j] 보다 큰지 확인한다. 크다면 가장 긴 증가하는 부분 수열이 될 수 있으므로 갱신할 수 있다.

이 풀이법은 n개의 수들에 대해 현재 위치 이전의 모든 수를 다 확인해보아야 하므로 $O(N^2)$의 시간복잡도를 가진다.

dp는 정말 아이디어가 중요하고, 문제를 많이 풀어봐야 익숙해질 것 같다. 제대로 쓰면 문제가 너무너무 깔끔하게 풀린다.

n = int(input())
nums = list(map(int, input().split()))

dp = [1] * n # dp[i] = nums[i]를 마지막 숫자로 가질 때 가장 긴 증가하는 부분 수열의 길이

for i in range(n):
    for j in range(i):
        if nums[i] > nums[j]: # 마지막 숫자가 이전 숫자보다 클 경우
            dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1) # 이전 숫자인 num[j]를 마지막 숫자로 가질 때 가장 긴 증가하는 부분 수열의 길이에 1을 더한 값과 비교하여 갱신
            
print(max(dp))