[CGs] Geometrical Transformations

• 기하학적 변환의 목적 : point, polygon, sampled parametric curve 등을 각 목적에 맞게 변환

1. 좌표 프레임을 바꾸기 위해(world, window, viewport, device)
2. 개개의 부품들이 연결point에 의해 묶여져서 하나의 객체를 변환하기 위해
3. 새 모양을 만들기 위해 변형 사용
4. animation에 효과적이므로

💻 What Is Geometrical Transformations?

Three Basic classes of transformation

1. Rigid Body
   • 크기와 각도 유지(모양이 변하지 않음)
   • 가장 엄격한 조건의 변환
   • ex) translation(위치이동), rotation(회전)
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2. Conformal
   • 각도만 유지
   • ex) translation(위치이동), rotation(회전), uniform scaling(확대/축소 같은 비율로 변환)
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3. Affine
   • 평행만 유지, 선만 평행하게 남음
   • ex) translation, rotation, Scaling, shear(찌그러짐, 비틀림), reflection(거울 반사)

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Translation

• $(x,y)$점에서 $(dx,dy)$만큼 이동
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Scaling

• $S_{x}$, $S_{y}$가 같으면 Uniform Scaling(크기는 바뀌어도 모양은 안바뀜)
• $S_{x}$, $S_{y}$가 다르면 Different Scaling(크기, 모양 둘다 바뀜)
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Rotation

• $θ>0$이면 회전 방향은 반시계 방향
• 반대로 $θ<0$이면 회전 방향은 시계 방향

rotation 방정식

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Matrix Representation in Cartesian Coordinates

• Cartesian Coordinates에서 translation만 add 연산이고 scaling과 rotation은 mul이다.
• 변환의 효율성과 변환 행렬의 일관성을 위해 Homogeneous Coordinate(동차 좌표계)를 사용한다.

💻 Homogeneous Coordinates

• Cartesian Coordinate에서 h라는 값 하나를 더 추가했다

• 2차원 좌표계지만 항이 3개

• h는 0을 제외한 모든 수 가능하다

  • 가장 유용한 수는 1, ($x,y,1$)

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Translation Equation

• 같은 값을 얻을 수 있으면서 행렬의 곱셈으로 표현 가능

Composte Translation : additive

• Composte Translation = Translation이 2번 이상 일어나게 되는 경우\
• 복합 Translation은 덧셈의 형태

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Scaling Equation

Composite Scaling : multiplicative

• 복합 Scaling은 곱셈의 형태

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Rotation Equation

Composite Rotation : additive

• 복합 Rotation은 덧셈 형태

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Affine Transformation

• Affine transformation은 선의 평행성을 보존하는 특성이 있지만, 길이와 각도는 보존하지 않는다

Shear Transformation

• 선분의 평행선은 그대로 유지

• Affine transformation 범주에 속해 있음 : 선의 평행만 유지

• x방향, y방향 비틀림

Shear Equation in Homogeneous Coordinate