고유벡터와 고윳값

대각화 가능의 정의

유한차원 벡터공간 $V$ 위의 선형연산자 $T$가 주어질 때,

$[T]_\beta$가 대각행렬이 되도록 하는 $V$의 순서기저 $\beta$가 존재하면 $T$는 대각화 가능이다.
$n \times n$ 행렬 $A$에 대해 $L_A$가 대각화 가능이면 $A$는 대각화 가능이다.

고유벡터와 고윳값

영벡터가 아닌 $v \in V$와 어떤 스칼라 $\lambda$가 존재해서 $T(v) = \lambda v$를 만족 할 때,
벡터 $v$를 $T$의 고유벡터, $\lambda$를 $v$에 대응하는 $T$의 고윳값이라고 한다.

$L_A$의 고유벡터, 즉 $Av = \lambda v$인 스칼라 $\lambda$가 존재하게 하는 영벡터가 아닌 벡터 $v \in F^n$을 행렬 $A$의 고유벡터라고 한다.
스칼라 $\lambda$를 고유벡터 $\lambda$에 대응하는 $A$의 고윳값이라고 한다.

행렬의 대각화 가능의 필요충분조건

유한차원 벡터공간 $V$의 선형연산자 $T$에 대해서,

$T$가 대각화 가능 $\Leftrightarrow$ $T$의 고유벡터로 이루어진 $V$의 순서기저 $\beta$가 존재

$T$가 대각화 가능하고 $\beta = \{v_1, ..., v_n\}$이 $T$의 고유벡터로 이루어진 순서기저이면 $D = [T]_\beta$는 순서기저다.

증명)
$(\Rightarrow)$ $T$가 대각화 가능이면 $[T]_\beta$인 대각행렬인 순서기저 $\beta$가 존재한다. 즉 $[T]_\beta = diag(\lambda_1, ..., \lambda_n)$인 $\beta = \{v_1, ..., v_n\}$이 존재한다.

이 경우 $T(v_i) = \lambda_iv_i$이기 때문에 $\beta$는 모두 고유벡터로 이루어진 순서기저다. $D = [T]_\beta$의 $D_{jj}$의 원소는 $v_j$의 고윳값이다.

$(\Leftarrow)$ $\beta=\{v_1, ..., v_n\}$인 $T$의 고유벡터로 이루어진 순서기저면 $T(v_i) = \lambda_iv_i$를 만족한다. 따라서 $[T]_\beta = diag(\lambda_1, ... \lambda_n)$이므로 $T$는 대각화 가능이다.

행렬 $A \in M_{n \times n}$가 대각화 가능 $\Leftrightarrow$ $A$의 고유벡터로 이루어진 $F^n$의 순서기저가 존재

$\{v_1, ..., v_n\}$이 $A$의 고유벡터로 이루어진 순서기저이고 $j$열이 벡터 $v_j$인 $n \times n$ 행렬 $Q$에 대해 $D = Q^{-1}AQ$는 $D_{jj}$가 $v_j$에 대응하는 $A$의 고윳값이 대각행렬

증명)
$(\Rightarrow)$ $A$가 대각화 가능이면 $[L_A]_\beta$가 대각행렬이 되도록 하는 $F^n$의 순서기저 $\beta = \{v_1, ..., v_n\}$이 존재한다. 따라서 $[L_A]_\beta = diag(\lambda_1, ..., \lambda_n)$이므로 $T(v_i) = \lambda_iv_i$을 만족한다. 따라서 $v_i$는 $A$의 고유벡터이고, $\lambda_i$는 $v_i$에 대응하는 $A$의 고윳값이다.

$Q = [v_1 \ ... \ v_n]$이면 $AQ = [Av_1 \ ... \ Av_n] = [\lambda_1v_1 \ ... \ \lambda_nv_n]$이다. 그리고 $QD = [v_1 \ ... \ v_n] diag(\lambda_1, ..., \lambda_n) = [\lambda_1v_1 \ ... \ \lambda_nv_n]$이므로 $QD = AQ$이다. 그리고 $Q$는 기저벡터들을 열로 하는 행렬이므로 가역이고, 따라서 $D = Q^{-1}AQ$이다.

$(\Leftarrow)$ $Av_i = \lambda_iv_i$를 만족하는 $F^n$의 순서기저 $\{v_1, ..., v_n\}$이 있다고 하자. 이 때 $[L_A]_\beta = diag(\lambda_1, ..., \lambda_n)$이므로 $A$는 대각화 가능이다.

대각화 예시

행렬 $A = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 4 & 2 \\ \end{array} \right]$와 두 벡터 $v_1 = \left[ \begin{array}{cc} 1 \\ -1 \\ \end{array} \right]$, $v_2 = \left[ \begin{array}{cc} 3 \\ 4 \\ \end{array} \right]$에 대해 다음 관계가 성립한다.

$\beta = \{v_1, v_2\}$이면 $[L_A]_\beta = diag(-2, 5)$ 이고 $\beta$가 모두 고유벡터로 이루어진 순서기저 이므로 $L_A$와 $A$는 대각화 가능하다.

따라서 $Q = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ -1 & 4 \\ \end{array} \right]$이면 $Q^{-1}AQ = [L_A]_\beta = \left[ \begin{array}{cc} -2 & 0 \\ 0 & 5 \\ \end{array} \right]$이다.