연립일차방정식계

연립일차방정식계 (선형계)

위와 같은 $n$개의 미지수와 $m$개의 방정식을 가지는 연립일차방정식계가 있을 때, 이를 행렬과 벡터의 곱을 이용해 아래와 같이 표현할 수 있다.

선형계의 해집합과 동차

$Ax = b$를 만족하는 해들의 집합 $\{s | As = b\}$를 $Ax =b$의 해집합이라고 한다. 만약 해집합이 공집합이면 $Ax = b$의 해는 없고 선형계가 Inconsistent하다고 한다. 해집합이 공집합이 아니면 $Ax = b$를 만족하는 해는 존재하고, 선형계가 Consistent하다고 한다.

$Ax = b$에서 $b= 0$인 경우를 동차방정식계(Homogeneous system)라고 한다. $b \neq 0$인 경우는 비동차방정식계라고 한다.

동차방정식계의 해집합

체 $F$에서 $n$개의 미지수와 $m$개의 일차방정식으로 이루어진 선형계 $Ax = 0$에 대해서

$Ax = 0$의 해집합을 $K$라고 하면 $K = N(L_A)$이고, $dim(K) = n-rank(A)$이다.

증명)
$N(L_A) = \{x \in F^n | Ax = 0\} = K$이다. 따라서 $K$는 $F^n$의 부분공간이다.
차원 정리에 의해 $rank(L_A) + Nullity(L_A) = n$인데, $dim(K) = dim(N_A)= Nullity(L_A)$이고 $rank(L_A) = rank(A)$이므로 $dim(K) = n-rank(A)$를 만족한다.

m < n이면 선형계 $Ax=0$은 영벡터가 아닌 해를 가진다.

증명)
$m < n$이면 $rank(A) \le min(m,n)$에 의해서 $rank(A) < n$이다. 따라서 $n-rank(A) = dim(K) > 0$이므로 $K$는 영공간이 아니다.

동차방정식계의 해와 비동차방정식계의 해의 관계성

해가 존재하는 선형계 $Ax = b$의 해집합을 $K$, $Ax= 0$의 해집합을 $K_H$라고 표현하면

$Ax = b$의 임의의 해 $s \in K$에 대해 $K = \{s\} + K_H = \{s+k | k \in K_H\}$이다.

증명)

1. $K$가 $\{s\} + K_H$의 부분집합임을 증명
   $s \in K$를 고정하자. 임의의 $t \in K$에 대해 $As = b, At = b$이므로 $A(t-s) = 0 \Rightarrow t-s \in K_H$이다. 따라서 $t = s + (t-s)$이고 $t-s \in K_H$이므로 $t \in \{s\} + K_H$이다.

2. $\{s\}+K_H$가 $K$의 부분집합임을 증명
   $s \in K$를 고정하자. 임의의 $w \in K$에 대해 적절한 $u \in K_H$가 존재해서 $w = s + u$를 만족한다. 이 때 $Aw = A(s+u) = As+Au = b + 0 = b$이므로 $w \in K$이다.

이 정리에 따르면 $Ax = b$의 임의의 해 $s$를 고정했을 때, $Ax = 0$의 해공간의 기저가 $\{w_1, ..., w_p\}$이면 $Ax = b$의 해집합은 $\{k|k = s + a_1w_1 + ... a_pw_p\}$가 된다는 것을 알 수 있다. 이를 $Ax = 0$의 해공간을 $s$만큼 평행이동시킨 것으로 이해할 수도 있다.

계수행렬의 가역성

$n$개의 미지수와 $n$개의 일차방정식으로 이루어진 $Ax = b$에 대해

행렬 $A$가 가역이면 유일한 해 $A^{-1}b$가 존재한다. 역으로 방정식의 해가 유일하면 행렬 $A$는 가역이다.

증명)
$A$가 가역일 때, $Ax = b$의 임의의 해를 $s$라고 하자. $As = b \Rightarrow s = A^{-1}b$가 성립하므로 $A$가 가역일 때 $Ax = b$의 해는 유일하다.

$Ax = b$의 유일한 해 $t$가 존재한다고 하자. 그리고 $Ax = 0$을 만족하는 임의의 해를 $u$라고 하자. $At = b$, $Au = 0$에서 $A(t + u) = b$를 얻는다. 그런데 $Ax = b$의 해는 $t$로 유일하므로 $t + u = t$에서 $u = 0$이다.

따라서 $Ax = 0$의 해 공간 $\equiv$ $N(L_A) = \{0\}$이므로 $L_A$는 단사이고, $L_A : F^n \rightarrow F^n$이므로 $L_A$는 가역이다. 따라서 $A$도 가역이다.

해의 존재성 판별

선형계 $Ax = b$의 해가 존재함 $\Leftrightarrow$ $rank(A) = rank(A|b)$

증명)
$Ax = b$의 해가 존재한다는 것은 $b \in R(L_A)$와 동치다. 그리고 $R(L_A) = span(\{a_1, a_2, ..., a_n\})$이기 때문에 이는 $b \in span(\{a_1, ..., a_n\})$과 동치다.

그리고 $b \in span(\{a_1, ..., a_n\}) \Leftrightarrow span(\{a_1, ..., a_n\}) = span(\{a_1, ..., a_n, b\})$이고 두 벡터공간의 차원이 같으므로 이는 $rank(A) = rank(A|b)$와 동치다.