베르누이 시행, 이항 분포

STATS·2023년 6월 26일

수리통계학

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확률 변수 $X \ (1 \le i \le n)$ 가 다음 조건을 만족하면, $X \sim B(p)$ 라고 한다.

확률 시행의 결과로 $X$ 는 0과 1 두가지의 값만 가진다. 따라서 시행 결과를 이분법으로 보려는 경우, 예를 들면 성공과 실패, 한 케이스와 나머지 케이스 등에서 베르누이 시행을 사용한다.

P(X=x) = p^x(1-p)^{1-x}I(x \in \{0, 1\}) \\ {} \\ M_X(t) = (1-p) + pe^t

확률 변수 $Y$ = $n$ 번의 베르누이 시행에서 1이 나온 횟수로 정의하자. 베르누이 시행은 0과 1만 값으로 가지기 때문에, 베르누이 시행 $X_i$ 의 n번의 시행에서 성공 횟수는 $\sum_{i=1}^n X_i$ 와 동일하다.

베르누이 시행의 확률변수열 $X_1, X_2, ...X_n$ 이 다음을 만족하면 $Y$ 는 이항 분포를 따른다.

where \ X_i \sim B(p),\\ Y = \sum_{i=1}^n X_i \sim Binom(n, p)

P(X=x) = \binom{n}{x}p^n(1-p)^{n-x}I(x \in \{0, 1, 2, ..., n\} \\ {} \\ M_X(t) = [(1-p) + pe^t]^n

상호 독립인 확률 변수 $X_1, X_2, ..., X_{40}$ 의 확률 함수가 $f_{X_i}(x) = 3x^2 I( 0 < x < 1)$ 라고 하자. 이 때 40개의 확률 변수 중 최소 35개의 값이 1/2을 넘을 확률을 구하라.

40개의 확률 변수는 값이 정해지기 전까지는 실제 값을 알 수 없으며, $0 < X_i <1$ 라는 시행 결과의 범위가 주어져 있기 때문에 표본 공간 $\Omega$ 를 다음과 같이 설정할 수 있다.

\Omega = \{(X_1, X_2, ..., X_{40}) \lvert 0 < X_i < 1\}

관심의 대상이 확률 변수가 1/2을 넘는 사건이므로, 다음과 같이 사건을 설정한다.
$A_i = \{X_i > \frac{1}{2}\}, P(A_i) = \int_{\frac{1}{2}}^1 f_{X_i}(x)dx = \frac{7}{8}$
$A_i$ 와 $A_i^C$ 를 정의했으므로, 베르누이 시행 $Y_i$ 를 다음과 같이 정의할 수 있다.
$A_i$ 가 발생한다면 $Y_i$ 의 값은 1이 되고, 아니라면 $Y_i$ 의 값은 0이 된다.
$Y_i(A_i) = 1, Y_i(A_i^C) = 0 \Rightarrow Y_i \sim B(\frac{7}{8})$
$Z$ = $X_i$ 들 중 값이 1/2를 넘는 확률 변수의 개수로 정의하자. $Y_i$ 가 $X_i$ 의 값이 1/2를 넘는지의 여부로 정의되어 있으므로, $Z = \sum_{i=1}^{40} Y_i \sim Binom(40, \frac{7}{8})$ 으로, $Z$ 는 이항 분포를 따르게 된다.
따라서 $X_i$ 중 값이 1/2를 넘는 확률 변수가 35개 이상일 확률은 다음과 같다.

P(Z \ge 35) = \sum_{i=35}^{40} \binom{40}{i}(\frac{7}{8})^i(\frac{1}{8})^{40-i}