음이항 분포, 다항 분포

음이항 분포

확률 변수열 $X_1, X_2, ..., X_{y+r}$에 대해 $X_i \sim B(p), \ iid$일 때,
확률 변수 $Y$를 $Y$ = $r$번 성공까지의 실패 횟수로 정의하면 $Y \sim NB(r, p)$라고 한다.

예를 들어 성공 확률이 1/3인 독립적인 베르누이 시행들에 대해 5번 성공할 때 까지의 실패 횟수가 궁금하다면, $Y \sim NB(5, 1/3)$을 통해 실패 횟수의 확률 분포를 알 수 있다.

마지막 $y+r$번째 시행에서는 반드시 $r$번째 성공이 결과로 나와야 하기 때문에, 이는 마지막 시행 전까지의 $y+r-1$번의 시행에서 $r-1$번 성공 및 $y$번 실패하고, 마지막 시행에서 성공이 나오는 것과 동일하다. 따라서 확률 질량 함수는 다음과 같다.

삼항 분포, 다항 분포

삼항 분포와 다항 분포는 이항 분포의 일반화로, n번의 시행에서 각 시행 결과가 분류될 수 있는 확률 변수의 값이 두 개보다 많은 경우의 확률 분포를 다룬다.

삼항 분포

이항 분포에서는 시행 결과가 0 또는 1 두가지로 분류되었다. 여기서 분류될 수 있는 카테고리를 하나 더 늘려 총 세가지의 분류 가능한 카테고리를 고려한 것이 삼항 분포다.

삼항 분포에서는 카테고리1에 시행 결과가 속하는 횟수를 나타내는 확률 변수 $X$와, 카테고리2에 시행 결과가 속하는 횟수를 나타내는 확률 변수 $Y$를 사용한다. 따라서 각 확률 변수는 각 카테고리를 대표한다고 생각하면 쉽게 이해할 수 있다.

마지막 카테고리에 시행 결과가 속하는 횟수는 $n-X-Y$로 나타낼 수 있기 때문에 카테고리는 3개지만 확률 변수는 2개만 사용한다. 따라서 삼항 분포는 확률 벡터를 사용해 표현한다.

삼항 분포의 주변 확률 함수와 조건부 확률 함수

삼항 분포의 주변 확률 함수는 이항 분포를 따른다.

삼항 분포의 조건부 확률 함수또한 이항 분포를 따른다.

다항 분포

다항 분포는 n번의 시행에서, 카테고리를 임의의 k개로 늘린 경우에 시행 결과가 각 카테고리에 속하는 횟수에 대한 분포다.

k개의 카테고리에 각 시행 결과가 속하는 횟수를 표현하기 위해서는, 총 k-1개의 확률 변수가 필요하다. 마지막 카테고리는 삼항분포에서와 동일한 원리로 $n-X_1-X_2-...-X_k$로 표현할 수 있기 때문이다.

다항 분포의 주변 확률 분포

다항 분포에서, 각각의 단일 확률 변수의 주변 확률 분포는 이항 분포를 따르고, 두 확률 변수의 확률 벡터는 삼항 분포를 따르고, ... 귀납적으로 t개의 확률 변수의 확률 벡터는 (t+1)항 분포를 따른다.