벡터 공간
체 F에서의 벡터 공간 V는 다음 10가지 공리를 만족하는 합과 스칼라 곱 연산을 가지는 집합이다. 벡터 공간의 원소를 벡터라고 한다.
∀ u,v,w∈V, ∀ m,k∈F1.u+v∈V2.u+v=v+u3.(u+v)+w=u+(v+w)4.∃ 0∈V s.t u+0=0+u=u5.∀ u∈V, ∃ −u∈V s.t u+(−u)=06.mu∈V7.m(u+v)=mu+mv8.(m+k)u=mu+ku9.m(ku)=(mk)u10.1u=u
벡터 공간의 예시
Mm×n(R)={Am×n∣Aij∈R}∀ A,B,C∈Mm×n(R),∀m,k∈R,(A+B)ij=Aij+Bij, (mA)ij=mAij1.(A+B)ij=(Aij+Bij)∈R⇒A+B∈MM×n(R)2.(A+B)ij=Aij+Bij=Bij+Aij=(B+A)ij⇒A+B=B+A3.{(A+B)+C}ij=(A+B)ij+Cij=Aij+Bij+Cij=Aij+(B+C)ij={A+(B+C)}ij⇒(A+B)+C=A+(B+C)4.∃ 0∈Mm×n(R) s.t 0ij=0,A+0=0+A=A5.∀ A∈Mm×n(R), ∃−A∈Mm×n(R) s.t (−A)ij=−Aij, {A+(−A)}=06.(mA)ij=mAij∈R⇒mA∈mm×n(R)7.{m(A+B)}ij=m(A+B)ij=m(Aij+Bij)=mAij+mBij=(mA)ij+(mB)ij=(mA+mB)ij⇒m(A+B)=mA+mB8.{(m+k)A}ij=(m+k)Aij=mAij+kAij=(mA)ij+(kA)ij=(mA+kA)ij⇒(m+k)A=mA+kA9.{m(kA)}ij=m(kA)ij=m(kAij)=(mk)Aij⇒m(kA)=(mk)A10.1Aij=Aij⇒1A=A 