부분공간

STATS·2023년 7월 5일
선형대수학

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부분공간의 정의

F-벡터공간 VV의 부분집합 WW가 VV의 합과 스칼라 곱 연산을 가진 F-벡터공간이면 WW를 VV의 부분공간이라고 한다.

부분공간 판정법

WW가 벡터공간이 되기 위해서는 벡터공간의 공리들을 모두 만족해야 하는데,
WW가 VV의 부분집합이라는 속성에 의해 대부분의 공리는 VV로 부터 상속받는다.

따라서 WW가 벡터공간임을 확인하기 위해서는 다음 세가지를 확인해야 한다.

1.u+v∈W2.ku∈W3.0∈W1. u + v \in W \\ 2. ku \in W \\ 3. 0 \in W

부분공간의 예시

W={An×n∣A=AT,Aij∈R}⊂Mn×n(R)1.(A+B)T=AT+BT=(A+B)⇒A+B∈W2.(kA)T=kAT=kA⇒kA∈W3.∃ 0∈V,0T=0⇒0∈W따라서 부분공간 판정법에 의해 n x n 대칭행렬의 집합은 Mn×n(R)의 부분공간이다.W = \{A_{n \times n} \lvert A=A^T, A_{ij} \in \R\} \sub M_{n \times n}(\R) \\ {} \\ 1. (A+B)^T = A^T + B^T= (A+B) \Rightarrow A+B \in W \\ 2. (kA)^T = kA^T = kA \Rightarrow kA \in W \\ 3. \exist \ 0 \in V, 0^T = 0 \Rightarrow 0 \in W \\ {} \\ \text{따라서 부분공간 판정법에 의해 n x n 대칭행렬의 집합은 } M_{n \times n}(\R) \text{의 부분공간이다.}

영벡터의 상속

WW가 VV의 부분공간이라고 하자.
WW의 영벡터는 0′0'라고 하면, ∀u∈W,u+0′=0′+u=u\forall u \in W, u + 0' = 0' + u = u이다.
VV의 영벡터를 00라고 하자. u∈W⊂Vu \in W \sub V이므로 u∈Vu \in V이다.
따라서 ∀u∈W,u+0=0+u=u\forall u \in W, u + 0 = 0 + u = u이다.
u+0=u+0′u + 0 = u + 0'이므로 0=0′0 = 0'이다.

따라서 부분공간은 원래 벡터공간와 동일한 영벡터를 가진다.

부분공간의 교집합

VV의 부분공간 W1,W2,...,WnW_1, W_2, ..., W_n이 있다고 할 때, ⋂i=1nWi\bigcap_{i=1}^n W_i도 VV의 부분공간이다.

증명)

1.u,v∈⋂i=1nWi⇒u,v∈W1,W2,...,Wn⇒u+v∈W1,W2,...,Wn⇒u+v∈⋂i=1nWi2.u∈⋂i=1nWi⇒u∈W1,W2,...,Wn⇒ku∈W1,W2,...,Wn⇒ku∈⋂i=1nWi3.W1,W2,...,Wn가 모두 V의 부분공간이므로 ∀Wi,∃0∈Wi⇒0∈⋂i=1nWi s.t u+0=0+u=01. u, v \in \bigcap_{i=1}^n W_i \Rightarrow u, v \in W_1, W_2, ...,W_n \Rightarrow u+v \in W_1, W_2, ..., W_n \Rightarrow u+v \in \bigcap_{i=1}^n W_i \\ {} \\ 2. u\in \bigcap_{i=1}^n W_i \Rightarrow u \in W_1, W_2, ...,W_n \Rightarrow ku \in W_1, W_2, ..., W_n \Rightarrow ku\in \bigcap_{i=1}^n W_i \\ {} \\ 3. W_1, W_2, ..., W_n \text{가 모두 }V\text{의 부분공간이므로 } \forall W_i, \exist 0 \in W_i \\ \Rightarrow 0 \in \bigcap_{i=1}^n W_i \ s.t \ u + 0 = 0 +u = 0
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