순서통계량 : 정의와 확률 함수

순서통계량

서포트가 $(a, b)$인 확률 변수 $X$의 랜덤 표본 $X_1, X_2, ..., X_n$이 있다고 하자.
이 때 $Y_i\ (1 \le i \le n)$를 랜덤 표본 중 $i$번째로 작은 것이라고 하면, 다음을 만족한다.

이 때 $Y_i$를 랜덤 표본 $X_1, X_2, ..., X_n$의 순서통계량이라고 한다.

순서통계량의 결합 확률 함수

$(Y_1, Y_2, ..., Y_n)$의 결합 확률를 구하기 위해서는 $(X_1, X_2, ..., X_n)$의 결합 확률 함수와 확률 변수의 변환을 이용해야 한다.

$X_1, X_2, ..., X_n$을 크기 순서대로 배열하는 경우의 수를 생각해보면, 총 $n!$가지라는 알 수 있다. 따라서 $Y_1, Y_2, ..., Y_n$은 $X_1, X_2, ..., X_n$이 이루는 $R^n$ 공간을 $n!$개의 집합으로 파티션한다.

이 때 $Y_1 = X_4, Y_2 = X_{10} ...$의 형식으로 각 $Y_i$와 $X_j$가 매칭되므로 변환의 자코비안은 -1 혹은 1이다.

따라서 순서통계량 $(Y_1, Y_2, ..., Y_n)$의 결합 확률 함수는 다음과 같다.

순서통계량의 주변 확률 함수

1. 일변량 주변 확률 함수

   $g(y_k) = \int_a^{y_k} ... \int_a^{y_2}\int_{y_k}^b ... \int_{y_{n-1}}^b g(y_1, y_2, ..., y_n) dy_n ... dy_{k+1}dy_1 ... dy_{k-1} \\ = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}F(y_k)^{k-1}(1-F(y_k))^{n-k}f(y_k)$

2. 다변량 주변 확률 함수

   $g(y_i, y_j) (i< j) = \frac{n!}{(i-1)!(j-i-1)!(n-j)!}F(y_i)^{i-1}[F(y_j) - F(y_i)]^{j-i-1} \\ \times [1-F(y_j)]^{n-j}f(y_i)f(y_j)$

순서통계량 응용 예시

$X$가 서포트 $(a, b)$를 가지고, 확률 함수가 $f(x)$인 확률 변수라고 하자.
이 때 분포 함수 $F(x)$는 다음을 만족한다.

$X_1, X_2, X_3$을 $X$의 랜덤 표본이라고 하자. 이 때 순서통계량 $Y_1, Y_2, Y_3$의 결합 확률 함수는 다음과 같다.

그리고 $Y_2의 주변 확률 함수는 다음과 같다.

따라서 표본 크기가 3인 랜덤 표본에서, 표본 중위수 $Y_2$의 중위수는 $X$의 중위수와 동일하다. 다르게 말하면 표본 중위수의 중위수는 모집단의 중위수와 동일하다.