순서통계량 : 중요한 순서통계량의 함수

STATS·2023년 7월 8일

수리통계학

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$Y_1, Y_2, ..., Y_n$ 이 $a < Y_1 < Y_2 < ...< Y_n < b$ 를 만족하는 순서통계량이라고 하자.

sample range는 표본의 최댓값과 최솟값의 차로, $Y_n - Y_1$ 으로 정의한다.
midrange는 표본의 최댓값과 최솟값의 평균으로, $\frac{Y_1 + Y_n}{2}$ 으로 정의한다.
median은 표본의 중위수로, 다음과 같이 정의한다.

Q_2 = \begin{cases} Y_{(n+1)/2} \ \ \ if \ n \ is \ odd\\ (Y_{n/2} + Y_{(n/2)+1})/2 \ \ \ if \ n \ is \ even \end{cases}

$Y_1, Y_2, Y_3$ 이 $f(x) = I(0 < x < 1)$ 의 순서통계량이라고 하자.
sample range의 확률함수를 구하면 다음과 같다.

R = Y_3 - Y_1\ (0 < Y_1 < Y_3 < 1) \\ {} \\ F_R(r) = P(R \le r) = P(Y_3 - Y_1 \le r) = P(Y_3 \le Y_1 +r) \\ {} \\ = \int_0^{1-r}\int_{y_1}^{y_1 + r} g(y_1, y_3)dy_3dy_1 + \int_{1-r}^1 \int_{y_1}^1 g(y_1, y_3) dy_3dy_1 \\ {} \\ = \int_0^{1-r}\int_{y_1}^{y_1 + r} 6(y_3 - y_1)dy_3dy_1 + \int_{1-r}^1 \int_{y_1}^1 6(y_3 - y_1) dy_3dy_1 \\ {} \\ = 3r^2(1-r) + r^3 \ (0 < r < 1) \\ {} \\ \Rightarrow f_R(r) = -6r^2+6r \ (0 < r< 1)